第三章范数理论及其应用

《第三章范数理论及其应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、第三章范数理论及其应用3.2矩阵范数3.3范数的应用3.1向量范数它具有非负性、齐次性和三角不等式三个基本性质，向量范数也具备这些性质。平面解析几何中一个向量的长度的定义：3.1向量范数(1)非负性：，当且仅当时，;(2)齐次性：对任何数，有;定义3.1.1设是维向量空间，若对中任意向量都有一个实数与之对应且满足：(3)三角不等式：对中任意两个向量x和y,有则称为中向量x的范数，简称为向量范数。定义了范数的向量空间称为赋范向量空间。在赋范向量空间中，向量x与y之间的距离可定义为的范数，即距离d具有平移不变性，即若，则3.1.2几

2、种常用的向量范数定理3.1.1按如下方式定义的函数是范数：例3.1.1例3.1.2例3.1.3在和中画出1-范数、2-范数、-范数的“单位圆”和“单位球”有助于大家对范数的理解。(1,0)(0.-1)(-1,0)(0,1)（0，0，1）（1，0，0）（0，1，0）1-范数意义下的“单位圆”和第一象限的“单位球”(0,1)(1,0)(0,-1)(-1,0)(0,0,1)(1,0,0)(0,1,0)2-范数意义下的“单位圆”和第一象限的“单位球”(1,0)(1,1)(0,1)(-1,1)(-1,0)(-1,-1)(0,-1)(1,-

3、1)（0，0，1）（1，1，1）（1，1，0）（0，1，0）（1，0，0）（1，0，1）（0，1，1）-范数意义下的“单位球”和第一象限的“单位球”3.1.3向量范数的等价性定义3.1.2设和是中的两种向量范数，如果存在正数和使得对任意,都有则称向量范数与等价。定理3.1.2对任意都有：定理3.1.3n维向量空间中所有的向量范数都是等价的。例3.1.4称向量序列收敛于，记为或定义3.1.3给定n维向量空间中的向量序列,其中若定理3.1.4中任意一种范数是不同的向量范数可能具有不同的大小，但在各种范数下，向量序列的收敛问题却表现出

4、简洁性和一致性。3.2.1矩阵范数的定义3.2矩阵范数定义3.2.1设，定义一个实值函数，满足以下性质：(1)非负性：，当且仅当时，(2)齐次性：,其中是任意常数；(3)三角不等式：，其中是任意的矩阵。(4)相容性：，其中是可与相乘的任意矩阵；则称为的矩阵范数。例3.2.1例3.2.2能否可以从中，将提取出来呢？例3.2.3定义3.2.2设是上的矩阵范数，是与上的向量范数，如果对任意和都有则称矩阵范数与向量范数是相容的。3.2.2从属范数定义3.2.3是上的向量范数，定义实值函数则称为由向量范数导出的矩阵范数或从属于向量范数的矩

5、阵范数，简称为导出范数或从属范数。因此，我们可得到如下结论。若令，则，此时定理3.2.1定理3.2.2任意从属范数都是范数，即对任意，，，都有：(1)非负性：，当且仅当时，。(2)齐次性：；(3)三角不等式：(4)相容性：另外每一种从属范数还具备如下性质：(a);，且在某点等式成立；(c)若可逆，则(d)若可逆，则例3.2.4定理3.2.3设，分别由向量范数导出的矩阵范数为：定理3.2.4设，则例3.2.5定理3.2.5设，且都是酉矩阵，则3.3.1线性变换的误差分析3.3范数的应用设T是线性变换，A是与之对应的矩阵，即下面我们

6、研究在此线性变换下“单位圆”的象。的结论：（假定可逆）（假定可逆）例3.3.1(a)单位圆（b）单位圆在线性变换下的像矩阵从属范数在逼近论中的应用设，是的一个近似值，则上式说明象向量之间的误差不超过的倍.而相对误差满足关系由结论(2)知，因此其中称为矩阵A的条件数。上式说明像向量的相对误差不超过原像的相对误差的倍.因此A的条件数都大于1.由于可以证明其中分别由矩阵的1-范数、2-范数和范数计算得到的。设非奇异，，考虑如下线性方程组.3.3.2线性方程组解的误差分析由于误差，设用Gauss消去法得到的解为，满足其中E是由舍入引起的

7、误差矩阵.设机器的有效数字为t，则设x是线性方程组的精确解，则表明了误差E对方程组的解的影响，当很小时，解的失真程度小，这样的矩阵称为良态矩阵或好条件的。若很大，则解的失真程度也可能很大，这样的矩阵称为病态矩阵或坏条件的。Hilbert矩阵是很有名的病态阵：随着n的增大，的条件数增长很快。3.3.3矩阵的谱半径定义3.3.1设为A的n个特征值，称为A的谱半径。例3.3.3定理3.3.1设是任一矩阵范数，则定理3.3.2设是一个正数，则存在矩阵范数满足例3.3.4定理3.3.3设，则谱半径的性质使其成为在用迭代法解线性方程组时判断

8、迭代是否收敛的条件，它在特征值估计、广义逆矩阵、数值分析等理论中都占有极其重要的地位。