第五章--范数及其应用ppt课件.ppt

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1、第五章范数及其应用虽然在微积分开端时期贝克莱将无穷小称为“上帝的幽灵”，进而导致“第二次数学危机”，直到柯西的“极限论”和戴德金等的“实数理论”的出现危机才算彻底解决。但微积分在近代社会的巨大作用我们早已深有体会，将微积分中的极限、导数、积分、级数等分析思想和方法应用于矩阵的研究，自然就在情理之中。对于实数和复数，由于定义了它们的绝对值或模，这样我们就可以用这个度量来表示它们的大小（几何上就是长度），进而可以考察两个实数或复数的距离。对于维线性空间，定义了内积以后，向量就有了长度（大小）、角度、距离等度量概念，这显然是3维现实空间中相

2、应概念的推广。利用公理化的方法，可以进一步把向量长度的概念推广到范数。§1、从向量范数到矩阵范数一、从向量的长度或模谈起，当且仅当时，等号成立。例1复数的长度或模指的是量显然复数的模具有下列三条性质：，当且仅当时，等号成立。显然向量的模也具有下列三条性质：例2维欧氏空间中向量的长度或范数定义为定义3如果是数域上的线性空间，对中的任意向量，都有一个非负实数与之对应，并且具有下列三个条件（正定性、正齐性和三角不等式）：则称是向量的向量范数，称定义了范数的线性空间为赋范线性空间。例4设是内积空间，则由定义的是上的向量范数，称为由内积导出的范

3、数。这说明有内积必有范数，有范数则未必有内积，即范数未必都可由内积导出。例如后面介绍的范数和都不是由内积导出的范数。例5在赋范线性空间中，定义任意两向量之间的距离为则称此距离为由范数导出的距离。此时按此式定义了距离的满足度量空间的距离三公理（对称性、三角不等式和非负性），所以赋范线性空间按由范数导出的距离构成一个特殊的度量（距离）空间。拓扑空间线性空间Hausdorff空间赋范空间距离空间(度量空间)拓扑线性空间完备距离线性空间距离线性空间内积空间Hilbert空间Banach空间欧氏空间和各类空间的层次关系二、常用的向量范数例6对任

4、意，由定义的是上的向量范数，称为2-范数或范数，也称为Euclid范数。例7对任意，由定义的是上的向量范数，称为p-范数或范数或Holder范数。定义的是上的向量范数，称为1-范数或范数或和范数，也被风趣地称为Manhattan范数。特别地，p=1时，有例8对任意，由ABC遗憾的是，当时，由定义的不是上的向量范数。因为时，取，则定义的是上的向量范数，称为-范数或范数或极大范数。在广义实数（即将“无穷”看成数）范围内，P能否取到正无穷大呢？具体而言，如何计算这种范数呢？例9对任意，由（1）正定性：（2）正齐性：（3）三角不等式：令例10

5、计算向量的p范数，这里解：%exm501.ma=[3*i,-4*i,0，-12]';norm(a),norm(a,1),norm(a,'inf')ans=13ans=19ans=12这些范数在几何上如何理解呢？例11对任意，对应于四种范数的闭单位圆的图形分别为定义的是上的向量范数，称为加权范数或椭圆范数。例12若矩阵为正定Hermite矩阵，则由对于任意，有当时，；当时由知，即。由于，故存在酉矩阵，使得从而有这里的特征值都为正数。因此对任意，即定理2.4.9从几何上可以理解成求可逆变换的像的“长度”。这说明只要运算成立即可，因此对矩阵

6、的要求可放宽为列满秩矩阵。如果，此时这就是加权范数或椭圆范数名称的由来。为李雅普诺夫（Lyapunov）函数，这里是正定Hermite矩阵。大家已经知道，此函数是讨论线性和非线性系统稳定性的重要工具。在现代控制理论中，称二次型函数例13（模式识别中的模式分类问题）模式分类的问题指的是根据已知类型属性的观测样本的模式向量，判断未知类型属性的模式向量归属于哪一类模式。其基本思想是根据与模式样本向量的相似度大小作出判断。最简单的方法是用两向量之间的距离来表示相似度，距离越小，相似度越大。最典型的是Euclidean距离其他距离测度还包括以及

7、与椭圆范数类似的Mahalanobis距离：这里是从正态总体中抽取的两个样本。例14对任意，由定义的是上的向量范数，称为范数。特别地，范数、范数和范数分别为定理15设线性空间中任意向量在基下的坐标向量为，则是上的向量范数。三、向量范数的几个性质定理16Euclid范数是酉不变的，即对任意酉矩阵以及任意，均有这个定理的结论是显然的，因为酉变换保持向量的内积不变，自然也保持了Euclid意义下的几何结构（长度、角度或范数等）不变。注意这个结论对无限维未必成立。另外，根据等价性，处理向量问题（例如向量序列的敛散性）时，我们可以基于一种范数来

8、建立理论，而使用另一种范数来进行计算。定理17有限维线性空间上的不同范数是等价的，即对上定义的任意两种向量范数，必存在两个任意正常数，使得向量是特殊的矩阵，矩阵可以看成一个维向量，因此自然想到将向量范数推广到矩阵范数。§