矩阵论范数理论

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1、第二章范数理论在第一章我们曾利用内积定义了向量的长度，他是几何向量长度概念的一种推广。虽然当n>3时对定义的向量长度无法作出具体的几何解释，但这样规定的长度具有几何向量长度的基本性质，即非负性，齐次性和三角不等式。本章我们采用公理化的方法，八项量长度的概念推广到更一般的情形，主要讨论向量范数、矩阵范数及其有关的应用。§2.1向量范数定义2.1若对任意都有一个实数与之对应，且满足：（1）非负性：当（2）齐次性：对任何（3）三角不等式：对任意都有则称为上的向量x的范数，简称向量范数。定义中并未给出向量范数的计

2、算方法，只是规定了向量范数应满足的三条公理，称之为向量范数三公理。从范数定义可得范数的下列基本性质。定理2.1对任意有（1）=；（2）只证（2）。根据三角不等式，有24综合二式即得证毕例2.1设规定第一章已表明是向量x的一种范数，并称之为向量2-范数，该范数具有如下重要的性质，对任意和任意n阶酉矩阵U，有称之为向量2-范数的酉不变性。例2.2设规定则是向量x的一种范数，称为向量1-范数。证当对任意又对任意有24故是上的一种向量范数。例2.2设规定则是向量x的一种范数，称为向量-范数。证当时，有当x=0时，

3、现然有0.对任意，有又对任意有故是上的一种向量范数。为给出其他的向量范数，先证明如下结论.引理2.1对任意实数，都有，其中证若，显然结论成立，下面就只就来讨论，考虑函数因为可见，当而当时，，故总有24令，有故结论成立。定理2.2对任意，有（2.1）其中p>1，q>1，且证当时，结论成立。下设不全为0，也不全为0.由引理2.1得故结论成立。称式（2.1）为Holder不等式。当p=q=2时，即得Cauchy-Schwarz不等式（1.5）例2.2设，规定则是向量x的一种范数，称为向量p-范数。证易知非负性和

4、齐次性成立，当p=1时，例2.2中已证明三角不等式成立。下设p>1，则对，利用定理2.2得24故对于向量p-范数，显然p=1和p=2时，分别得到向量1-范数和2-范数，并且-范数也是时的特殊情形。定理2.3设，则证当x=0时，结论成立。下设，又设则有由于证毕下面我们给出一种从已知的某种向量范数构造的向量范数的方法。定理2.4设，是上的一种向量范数，对任意，规定则是中的向量范数。证当x=0时，Ax=0，从而，由rankA=n知Ax0，于是>0.对任意，有又对任意，有24故是中的向量范数。由于满足的矩阵有无穷

5、多个，这样由一个已知的向量范数（不一定是p-范数）就可构造出无穷多个新的向量范数。如取A=diag(1,2,…,n)则对于任意由上的向量的1-范数和2-范数可得这是两种新的向量范数。例2.2设A是n阶Hermite正定矩阵，对任意，规定则是一种向量范数，称为加权范数或椭圆范数。证有定理1.24知，存在矩阵，使得A=，于是由定理2.4知是上的一种向量范数。虽然在中可以定义各种不同的向量范数，且同一向量按不同范数算出的值一般不等，如对于向量有但是，不同的范数之间存在着一种重要的关系，为了描述这种关系，先给出如

6、下的定义。定义2.2设和是24上的两种向量范数，如果存在正数，使对任意都有则称向量范数与等价。定理2.5上的所有向量范数等价。证设是上的向量范数，记首先证明是连续函数，因为对任意有而(k=1,2,…,n)都是确定的实数，故当时，有即是连续函数。考虑集合S=这是中的一个有界闭集。根据连续的性质知，在S上达到最大值和最小值，且.当时，，且有即当x=0时，上式也成立，这表明任意向量范数与向量2-范数等价。又若是上的向量范数，则存在正实数使得故即等价。证毕24对于上向量的1－，2－，－范数，易知下面二不等式成立向

7、量范数及其等价性，使得在研究向量序列的收敛问题时表现出简洁性和明显的一致性。见如下的定义和定理。定义2.3给定中的向量序列，其中如果则称向量序列收敛于简称收敛，记为不收敛的向量序列称为是发散的。定理2.6中向量序列收敛于x的充分必要条件是，对于上的任意一种向量范数，都有证设，则有可见的充分必要条件是。对于上的任意一种向量范数，有等价性知从而的充分必要条件是。证毕§2.2矩阵范数由于一个矩阵可以看做mn维的向量，因此可以按定义向量范数的方24法来定义矩阵范数。但是，矩阵之间还有乘法运算，在研究矩阵范数时应予

8、以考虑。首先研究方阵范数。一、方阵的范数定义2.4若对任意都有一个实数与之对应，且满足：（1）非负性：当时，；当时，；（2）齐次性：对任何（3）三角不等式：对任意，都有（4）相容性：对任意，都有则称为上矩阵A的范数，简称矩阵范数。由于定义中前三条公理与向量范数一致，因此矩阵范数与向量范数所具有的性质类似，如以及上的任意两个矩阵范数等价，又由于矩阵范数定义中相容性公理的出现，使得由向量范数的表达式推广到矩阵情形时，有时需做一些修