范数强制性定理及其推广.pdf

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1、2014年第6期牡丹江教育学院学报No．6．2014(总第148期)J0URNAL0FMUDANJ!ANGC0LLEGE0FEDUCAT10NSerialNo．148范数强制性定理及其推广夏云王文相(江苏联合职业技术学院连云港财经分院，江苏连云港2220OO)[摘要]推广了范数强制性定理，并在Banach空间小范围局部同胚条件下，对推广的应用进行了探讨。[关键词]局部同胚；非线性映射；延拓性；范数强制性定理[中图分类号-10177[文献标识码]A[文章编号-I1009—2323(2014)06—0064—02设X、Y是B

2、anach空间，非线性映射．厂：DcX—y，其胚。那么，当且仅当F在D上是范数强制的时，它是一个中D是X中开集，考虑非线性方程厂()一0，连续性的思将D映上的同胚。想就是根据考虑的问题引入参数t构造一簇连续映射H证明：先假定F是一个将D映上的同胚．给定y>(X，t)，使得t为某一特定值，例如t=1时，H(x，t)就是映0，又设S—S(O，y)，那么，由于r是连续的，D一F-S射，()一0，而当t一0时，H(X，t)就是映射f。(z)，并使是闭的和有界的，又若z∈D～D，那么，S；即f。(z)一0的解z。已知或容易求出。于

3、是厂(z)一0的问IlFxl>’，．题就转化为求参数方程H(z，)一0的解z(t)，这里z：反之，假定F在D上是范数强制的，那么，由引理3(设[O，1]一X依赖于t，它表示X中的一条细线，其中一端表DCR”是开的和道路连通的，又假定F：D—在D内每示给定的点z。一x(O)，而另一端点是厂(z)一0的解z一点是局部同胚，那么，当且仅当F对所有连续函数q：一z(1)．Co，1](==R一具有延拓性时，F是一个将D映上的假设方程H(z，f)=0存在唯一的连续解曲线(￡)、同胚．)，只需证明F对任意一个连续映射q：Eo，1]一都

4、z。一z(O)，则我们可以近似追踪解曲线(￡)，即由方程具有延拓性。设q是已知的，又假定对某一连续映射P：H(z，￡)一0的零点z。沿着曲线z(f)得到H(z，1)一0的[O，口)c[O，1]一D有Fp()一g(￡)()．设y=零点。具体方法可以用0一t。y．由此可得对所有t∈E

5、o，n)，户(￡)∈D，因z(1)或其近似解。一些相关的概念定义如下：此，由D是紧的可得一个序列{t}(二=[O，n)，使得limt定义①(延拓性)：映射F：Dc一R对一个给定的连续函数q：Eo，1]cR一具有延拓性，如果存在一连续—a且limp(t)一A∈D．因此，引理4保证lim(￡)一A，女一f_．一函数P：Co，口)cEo，1]一D，a∈(O，1]，使得由对所有t∈口所以，由F的连续性可知，=q(口)．证毕[O，口)，F(￡)=q(f)，可得lim(￡)一(n)在，声(口)下面开始推广定理的证明，首先再给出几个常

6、用的引∈D，且F声(口)一q(n)．理。定义②(范数强制)：映射F：Dc一在一个开集引理6：假定F：Dc一在开集D的每一点都是D。cD上是范数强制的，如果对任何y>0，存在一个闭一个局部同胚，如果F对一个连续函数q：Eo，1]一RJI具有的有界集合D(二=D。，使得对所有z∈D。～D，lIRll>延拓性，而对某一个∈D，如。一q(O)，那么，存在唯一y．的连续函数P：Eo，1]一D，满足(O)一工u，且对所有t∈如何保证H(sr，)=0存在唯一性的连续解曲线[O，1]，fp(￡)一q()．z(￡)，就成了连续法可行性的关

7、键。范数强制性定理给出引理7：假设F：DcR一R在开集D的每一点是一了这个问题的一个解答。为了方便推广该定理，我们下面个局部同胚，如果对所有线性函数q(t)一(1一t)y。+，给出范数强制性定理及其证明t∈Eo，1]，其中、∈R是任意的，F具有延拓性，那么，引理3：假定F：—在整个R上是连续可微的，FD—R．又设F(z)对所有z∈R是非奇异的．那么，当且仅当证明：设∈D及Y∈R是任意的，那么，因为F对“mlFxfI—m时，F是将映上R的同胚。q(f)(1一t)Fx。+ty，t∈[O，1]具有延拓性，由引理6保0一引理4：

8、设F：Dc一在D中每一个点是一个局证存在一个映射P：Eo，1]一D，使对所有的t∈Eo，1]，fp(￡)一q(z)。特别是，F(1)一y，因此有FD：R．证部同胚，又设P：l-o，n)cFo，1]一D是一个连续函数．如果毕。存在lim即(￡)一．)．，又若有一个具有性质lirnt一a的一_'。n引理8：假设F：Dc一