正互反矩阵的两个定理及其推广-论文.pdf

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1、技术创新；55正互反矩阵的两个定理及其推广◇内江师范学院数学与信息科学学院周明王凡彬万玲高瑜晟四川省高等学校数值仿真重点实验室王凡彬本文在现有对正互反矩阵研究的基础上，进一步深入探利用MATLAB计算得出：讨正互反矩阵的性质：对于任意n阶正互反矩阵的所有特征根丑=3．0092，=-0．0046+0．1663i，=一0．0046一O．1663i之和等于该矩阵的阶数n；对三阶正互反矩阵的特征根进行了+十：3。仔细研究并通过盛金公式进行证明，得出三阶正互反矩阵有例2取四阶正互反矩阵A：，并求其特征根。且只有一个实根和一对共轭虚根。根据研究，对正互反矩阵(其中1143的性质推广到任意对角线上元素为l

2、的阶矩阵的所有特征根=fl／71／1：之和进行研究，得出对角线上元素为1的任意n阶矩阵，其特I／'321征根之和为”125141引言因为A：=1正互反矩阵，又叫成对比较矩阵，在使用层次分析法解决)，；／132实际问题时，会运用到正互反矩阵来比较各因素对上层因素的影响，从而确定它们在上层因素中占的权重。目前正互反矩阵l2-1—2—5—7l的研究甚少。因此，为了能够更轻松、便捷地解决层次分析法所以I一l：中有关权重的问题，本文对正互反矩阵的性质进行了更进一步l}=；～2-1-一4一-3l：。。的讨论与研究，最终得到了三个结果：一是正互反矩阵特征根一～一：五一J之和等于该矩阵的阶数；二是三阶正互反

3、矩阵有且只有一个实利用MATLAB计算得出：根一对共轭虚根；三是对角线上元素为l的任意n阶矩阵所有特A=4．0215，=一0．0103，=一0．0056—0．3639i征根之和为n。根据这三个结果可以准确地判断出求出的特征,t4=～0．0056+0．2936i，根是否正确，对于这三种结果，给出了详细的证明。丑+++=4。2正互反矩阵的定义1433定义1称A=)为正互反矩阵，如果=1，>0，217551例3取五阶正互反矩阵A=1利用同样。I／3211定义2称A=)为一致性矩阵，如果对于任意的f，J，k有311aqd’n。的方法得出：定义3没=I，口=，=，称c==5．0721，=一0．0307

4、+0．6008i，=-0．0307—0．6008i，为矩阵A矩阵B的hadamard积，记为C=A．B。九=一0．0053+0．0548i，,t5=～0．0053一O．0548i，定Y．4没正互反矩阵A=J的主特征根为⋯其相应五十十十五十五=5。根据以上例题，我们猜想，有如下定理成立。的特征向量为=(q，，⋯OJn)，称矩阵W：l竺l为的特征矩L叶J定理1正互反矩阵中的所有特征根之和等于该矩阵的阶阵¨一数。3正互反矩阵的两个重要性质证明取，z阶正互反矩阵：首先，我们来看一些实例：1al2·一aJa2l1·一a2例l取三阶正互反矩阵，：Il1A=特征根。1现在研究n阶正互反矩阵A的特征多项式：

5、—2——3J一1一日l2··～1—21=12()：卜’一一1If一H1一a256l肛2014年·第7期令l。将该行列式展开，得到F[x冲一个多项式，它的最高次项是C=c2⋯3bd9k一,A=B2—4AC=486+8lk2+T817>0，对于任意k一X，出现在主对角线上元素的乘积q(jc—al】)(a22)⋯(x一口)的aIa，a成立，所以该正互反矩阵有—个实根和一对共轭虚。，(1)行列式的展开式其余的行至多含有n一2个主对角线上的元4定理1的推广根据定理1的证明过程，我们对该定理进行推广，将正互反素，因此()是乘积(1)和一个至多是x的一个n～2次多项式矩阵推广到对角线上元素为1的任意rl阶

6、矩阵，其所有特征根之之和。因此，()中次数大于n一2的项只出现在乘积(1)里，和为n，于是得到以下结论。所以定理3对角线上元素为lgl任意n阶矩阵，其所有特征根之()=X一(1+1+··-1)x’+·--。和为。在(x)中，X的系数乘以一l就是矩阵A的主对角线上元素证明取主对角线上为1的任意”阶矩阵：的和，叫做矩阵的迹，且1bl2·一bltrd=al1+a22+⋯+a=1+1+·-‘1=n。62l1⋯b2设，，⋯是矩阵A的全部特征根。。那么x)：一丑)一)⋯(一)：⋯1：X”一(丑+十⋯+无‘+⋯(-1)⋯，现在研究该矩阵B的特征多项式：因止b得出trA=十+···=n。I一1一岛···一b

7、即矩阵A的迹等于A的全部特征根的和，即正互反矩阵的所-有特征根之和等于该矩阵的阶数。b21叠：b2n根据以上的证明，得出定理1是成立的。定理2三阶正互反矩阵有且只有一个实根，一对共轭虚根。同定理1的证明类似，得到()=一(1+1+⋯1)x+⋯，f，1、且证明取二阶正互反矩阵=11，根据特征根求根公式trB=bl1+b22+⋯+=1+1+‘··1=n。1／设a，，⋯是矩阵B的全部特征根’。那么J一Al=0，化简