多元函数极值的正定矩阵判定定理的推广.pdf

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1、第24卷第3期高等函授学报(自然科学版)Vol_24No．32011年6月JournalofHigherCorrespondenceEducation(NaturalSciences)2011·大学教学·多元函数极值的正定矩阵判定定理的推广朱张兴(南京人口学院基础部，江苏南京210042)摘要：利用矩阵的分块及正定矩阵来处理特殊多元函数的极值问题，通过降低变量元维数的方法，使求三元或三元以上的特殊多元函数的极值成为切实可行。关键词：正定矩阵；多元函数；极值；Hesse矩阵；变量元维数中图分类号：O174文献标识码：A文章编号：1oO6

2、—7353(2011)03-0033-03在高等数学中，关于多元函数的极值的判定(Mo)(Mo)(M0)和求法，文献[1]中已有几个定理。而文[2—3]都fIM0)(M0)(Mo)也讨论到用多元函数的Hesse矩阵的正定性来判定该函数的极值问题。本文把该结论推广到特殊和lI⋯(M0)(Mo)⋯⋯(Mo)函数情形。记作1预备知识{L．ji【、I1．1多元函数的符号约定设P===(z，z2，z一，z)为元行向量，则1．11{H(Mo)一为P为元列向量。元函数f(xl，z2，z。，⋯，z)●●●●●●●●●{也记作(P)。。1．2一阶偏导数

3、都存在厂(P)在M。点的Hesse矩阵。设元函数，(z1，z2，z3，⋯，z)在Mo(，另外，有关有定矩阵和不定矩阵的概念详见[51。z2，X：，⋯，xo)的邻域内有定义且在M。点的所有1．4结论一阶偏导数都存在，若M。点满足定理1设Mo(．z，X，z，⋯，z：)为元且f(，z!，⋯z：)一0二阶偏导数都连续的函数f(x，z：，X一，X)的Jl‘。’，⋯：=0则称M。为厂(P)稳定点。则①当H(Mo)为正定矩阵时，M。为l’’‘。‘‘。‘-厂(P)的极小值点。②当H(Mo)为负定矩阵时，M}(z，!，⋯⋯z：)=0。为_厂(P)的极大

4、值点。③当H(Mo)为不定矩阵的驻点(或稳定点)。时，M。为厂(P)的非极值点。证明见文[2—3]。1．3二阶连续偏导数定理2设A为m阶正定矩阵，B为rt阶正定设7z元函数f(x1，X2，z3，⋯，z)在Mo(z，矩阵，则z，X，⋯，z：)点具有二阶连续偏导数，则称矩阵H(Mo)一c=『AB]为m十阶正定矩阵。证明见收稿日期：2011一O4一O9．作者简介：朱张兴(196O一)，男，江苏省江阴市人，讲师，研究方向：高校数学教育教学33第24卷第3期高等函授学报(自然科学版)Vo1．24No．32011年6月JournalofHighe

5、rC0rrespondenceEducation(NaturalSciences)2O11[4]。二阶连续的偏导数且Hesse矩阵为H(P0)一定理3设A为m阶负定矩阵，B为”阶负定rH1(Mo)]矩阵，则LHz(No)JA证令g1(zl，z2，z3，z4)一f1(z1，z2)显c—B]为m+阶负定矩阵。然g。(z，z，z。，)在P。点具有二阶连续的偏证明‘．‘A为m阶负定矩阵，B为，z阶负定导数。矩阵，同样令g2(z1，X2，z3，X4)一(z3，4)则显．．．一A为阶正定矩阵，一B为阶正定矩然g。(l，2，X。，z)在P。点具有二

6、阶连续的偏阵。由定理2知导数。由偏导数连续性的可加性知f(xl，2，X3，X4)一gl(zl，z2，3，z4)+[一A—B]一一[AB=-C为m+阶g2(z1，2，z3，4)一fl(1，2)+f2(z3，z4)在正定矩阵，P。点具有二阶连续的偏导数。又有A(xl，X2，X3，X4)fll(xl，X2)z(1，1-．．c—B]为+阶负定矩阵。z2，z3，X4)=厂l(zl，X2)，：设A与B分别为m和阶实对称矩阵J1(xl，z2，z3，z4)一fl1，(xl，X2)i一且一个为正定矩阵，另一个为负定矩阵。则称A与B互为相反定矩阵。1，2

7、1‘(xl’X2，3X4)一0i一3’4推论设A与B互为相反定矩阵或A、B中(l，X2，X3，z4)一厂‘(xl，X2)i一2Ii至少有一个不定矩阵，则c—AB]为不定矩1，2(xl，X2，X3，X4)=0i一3，42阵。(zl，2，z3，X4)=f2(3，4)‘(zl，2本文的主要结论3z，X3，X4)一f2(x3，z4)定理4设厂1(，X。)在M0(z，X2)的邻域内连续且M。是fl(P)的驻点；^(zl，X2，3，X4)一0i一1，，2(z。，z)在N。(，z)的邻域内连续且2(xl，z2，z3，z4)===3(x3，X4)i=

8、3，3N。是f2(P)的驻点。则4f(xl，2，z3，z4)一^(z1，z2)+("4)在P。一(Mo，N0)一(z，X2，z：，：)的邻域内连(xl，X2，z3，X4)一0i一1，续且P。为厂(P)的驻点。证明略。2(