正定矩阵的判定、性质及其应用

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1、学校代码：10722学号：1006024112分类号：O151.21密级：公开题目：正定矩阵的判定、性质及其应用DiscussiononDeterminant,PositiveandApplicationofPositiveDefiniteMatrix作者姓名：专业名称：学科门类：指导老师：提交论文日期：2014年5月成绩评定:I咸阳师范学院2014届本科毕业毕业论文（设计）摘要在高等代数的学习中，我们详细学习了二次型的相关知识，并且从中引出了正定矩阵的概念。事实上，正定矩阵是代数中一类非常重要的矩阵，它在不等式证明、极值求解、特征值求解、系统稳定性判定中都有着非常重要的应用。本文首先介

2、绍了实对称矩阵的定义，然后给出了判定正定矩阵的7条定理，接着总结归纳了正定矩阵的相关性质，最后通过举例说明了正定矩阵在证明不等式、判断函数极值等方面的应用。关键词：实对称；正定矩阵；判定；性质I1正定矩阵的判定、性质及其应用AbstractWehavestudiedtheconceptofquadraticformandthedefinitionofpositive-definitematrixisintroduced.Infact,positivedefinitematrixisakindofveryimportantmatrixinalgebra,itcanbeappliedtoth

3、evalueofextremeandeigenvalue,theproveofinequalityandstabilityanalysisofsystem.Thispaperfirstlyintroducedthedefinitionofrealsymmetricmatrices,and7theoremsaregiventodeterminepositivedefinitematrix,thentherelatedpropertiesofpositivedefinitematrixweresummarized,thepositivedefinitematrixintheapplicati

4、onofprovinginequality,functionextremeandsoonwereillustratedfinally.Keywords:properties,determinant,realsymmetric,positive-definitematrix.I2咸阳师范学院2014届本科毕业毕业论文（设计）目录摘要IAbstractII目录III引言11正定矩阵的定义11.1正定二次型的定义11.2正定矩阵的定义12正定矩阵的判定23正定矩阵的性质64正定矩阵的应用64.1正定矩阵在证明不等式中的应用64.2正定矩阵在数学分析中的应用74.3正定矩阵的其他应用8小结9参考

5、文献10谢辞11III正定矩阵的判定、性质及其应用引言在数学学科的研究中具有极其重要的地位的是矩阵，它不仅仅是数学研究的一个分支和高等代数的主要研究对象，而且还是理科研究中不可缺少的具有最实用价值的工具，如系数矩阵和增广矩阵的很多性质都是由线性方程组的部分性质所反映的。在古代，西尔维斯特为了将数字矩形阵列和行列式区别开来，他便创立了“矩阵”，而后由凯莱第一个明确了“矩阵”这个术语的确切意思。事实上，早在我国古代就已经对矩阵有所研究了。[1]在公元前1世纪，在《九章算术》中矩阵形式解方程组已经非常成熟了，但是在那个时代矩阵只是被人们看做是一种解题的方法，而“矩阵”这一概念并没有被独立起来，

6、形成一个统一完整的体系。矩阵在求解线性方程组和行列式计算等问题中得以广泛应用是在18世纪末的时候，并且从那时起矩阵思想才得到进一步的发展。[2]矩阵论中正定矩阵有着十分重要的地位。[3]历史上，在对于二次型和Hermite型的探究中最早出现了对正定矩阵的详细探究。二次齐次多项式是代数研究中另外一种非常重要的多项式，二次齐次多项式在数学的大多数分支中都有重要的应用，而且在解答与物理问题相关的内容中大家也会经常碰到需要运用正定二次型作解。正定二次型在二次型中占有及其特殊的地位，并且由正定二次型的系数可以直接写出正定矩阵。因此，无论是在研究中还是实际的应用中正定二次型和正定矩阵都有重要的意义。

7、[4]如今，矩阵已经成为了处理有限空间和数量关系的重要的工具。正定矩阵在矩阵的研究中占有十分重要的地位，对于正定矩阵的研究有利于我们日后更加详尽的研究二次型、线性空间和线性变换。下面我首先介绍正定矩阵的定义。1正定矩阵的定义1.1正定二次型的定义定义1[5]：在实二次型中若对于任意一组不全为零的实数都有，则称该二次型为正定的;若，则称为半正定二次型；若，则称为负定二次型；若，则称为半负定二次型；若实二次型既不是半正定又不是半负定的则