正定矩阵性质及其判定方法 数学毕业论文.doc

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1、正定矩阵性质及其判定方法摘要正定矩阵是非常重要的一类矩阵，本文试图给出了一些刻画正定矩阵的等价条件，据此给出了判定正定矩阵的方法.并利用正定矩阵解决了一些矩阵分解问题.关键词正定矩阵；可逆矩阵；特征值;主子式；顺序主子式PositiveDefiniteMatrixPropertiesOfJudgmentAbstractPositivedefinitematrixisaveryimportantclassofmatrices,thisarticleattemptstogiveSomecharacterizationso

2、fpositivedefinitematricesequivalentconditions,inordertodeterminethepositivedefinitematrix，Andresolvesomeofthematrixfactorizationproblem.KeywordsPositivedefinitematrix;Invertiblematrix;Eigenvalue;Minors;Orderminors二次齐次多项式在实际工作和理论研究中是一种重要的多项式，其中实二次型中的正定二次型占有特殊的位置

3、,正定二次型的系数矩阵就是正定矩阵.因此,对正定矩阵的讨论无论在矩阵理论方面,还是实际应用方面都有重要的意义.因而对正定矩阵的讨论是必要的，本文试图给出多种等价条件，意在为提供判定正定矩阵提供方便.本文给出了一些刻画正定矩阵的条件及其正定矩阵特点，并解决了一些矩阵分解问题,体现了正定矩阵的重要性.定义1对于一组变量，若不全为0,有实二次型,则称其为正定二次型.-21-定义2n阶实对称矩阵,如果存在可逆矩阵EMBEDEquation.KSEE3*MERGEFORMAT
,称EMBEDEquation.KSE

4、E3*MERGEFORMAT
是正定的．定理1EMBEDEquation.KSEE3*MERGEFORMAT
是正定矩阵的充要条件是其对应的实二次形式为正定二次型.正定矩阵常见性质：(1)若EMBEDEquation.KSEE3*MERGEFORMAT
正定，则Ａ的正惯性指数ｐ等于ｎ.(2)若EMBEDEquation.KSEE3*MERGEFORMAT
正定，则Ａ特征根全部大于０.(3)若EMBEDEquation.KSEE3*MERGEFORMAT
正定，则与主角元大于0的对

5、角矩阵合同.(4)若EMBEDEquation.KSEE3*MERGEFORMAT
正定，则顺序主子式大于０.(5)若EMBEDEquation.KSEE3*MERGEFORMAT
正定，则主子式大于０.(6)若EMBEDEquation.KSEE3*MERGEFORMAT
正定，则其行列式大于0.1.与正定矩阵相关的矩阵正定性问题命题1EMBEDEquation.KSEE3*MERGEFORMAT
是非奇异方阵，EMBEDEquation.KSEE3*MERGEFORMAT


6、是正定矩阵，则EMBEDEquation.KSEE3*MERGEFORMAT
-21-也是正定矩阵.证明EMBEDEquation.KSEE3*MERGEFORMAT
　　EMBEDEquation.KSEE3*MERGEFORMAT
,又对任何非零列向量EMBEDEquation.KSEE3*MERGEFORMAT
，EMBEDEquation.KSEE3*MERGEFORMAT
，EMBEDEquation.KSEE3*MERGEFORMAT
EMBEDEquat

7、ion.KSEE3*MERGEFORMAT
　故EMBEDEquation.KSEE3*MERGEFORMAT
是正定矩阵．定义3对于EMBEDEquation.KSEE3*MERGEFORMAT
存在可逆矩阵EMBEDEquation.KSEE3*MERGEFORMAT
使得EMBEDEquation.KSEE3*MERGEFORMAT
,则称EMBEDEquation.KSEE3*MERGEFORMAT
与EMBEDEquation.KSEE3*MERGEFORM

8、AT
是合同的．推论1若
，且EMBEDEquation.KSEE3*MERGEFORMAT
正定，则EMBEDEquation.KSEE3*MERGEFORMAT
也正定.命题2对于正定矩阵EMBEDEquation.KSEE3*MERGEFORMAT
,EMBEDEquation.KSEE3*MERGEFOR