毕业论文--实正定矩阵的性质和判定方法

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1、实正定矩阵的性质和判定方法摘要:主要归纳了实对称正定矩阵的若干性质，搜集总结了实对称正定矩阵的一些判定方法，对一部分实正定矩阵的性质和判定作了讨论和证明.关键词:实对称正定矩阵;实正定矩阵;性质;判定方法12CharacteristicsandjudgmentmethodsofrealsymmetrypositivedefinitematrixAbstract:Somecharacteristicsandjudgmentmethodsoftherealsymmetrypositivedefinitematrixareconcluded.

2、Also,thecharacteristicsandjudgmentmethodsofsomerealpositivedefinitematrixarediscussedandproved.Keywords:realsymmetrypositivedefinitematrix;realpositivedefinitematrix;characteristics;judgmentmethods12目录1定义……………………………………………………………………………(4)2性质……………………………………………………………………………(4)

3、2.1实对称正定矩阵的性质…………………………………………………(4)2.2实方阵正定的性质………………………………………………………(5)3实对称矩阵的判定方法………………………………………………………(6)参考文献…………………………………………………………………………(11)谢辞………………………………………………………………………………(12)121定义定义1实对称矩阵称为正定的，如果二次型正定.定义2设为阶实方阵（不一定对称），若对任意实向量均有，则称为正定矩阵.2性质2.1实对称正定矩阵的性质定理1若为实对称正定矩阵，对任意

4、的维非零列向量，都有.定理2的正惯性指数为.定理3若为实对称正定矩阵，的特征值全大于零.证明设是矩阵的任一特征值，为其相应的特征向量，则有，而有，因此.定理4若为实对称正定矩阵，合同于单位矩阵.定理5若为实对称正定矩阵，存在阶可逆矩阵，使.定理6若为实对称正定矩阵，的主子式全大于零.证明设正定矩阵，它的任意一个阶主子式为.作两个二次型和,对任意，有，其中.由于正定，知，而，由于的任意性，即证得是正定二次型，故.12定理7如果，均为同阶实对称矩阵，证明：的特征值均大于0.证明正定，合同于，即存在实可逆矩阵，使当正定时，则也正定，从而它的特

5、征值全大于0.由知与相似,有相同的特征值，因此的特征值均大于0.2.2实方阵正定的性质定理1设、为实方阵，且与合同，若正定，则也正定.证明正定，则和合同，与合同，则和合同，则也正定.定理2若实阶方阵正定，则也正定.定理3若实阶方阵、正定，则实阶方阵也正定.证明若、正定，则对任意的维列向量，有，，对任意维列向量，有，从而知也正定.定理4如果是正定矩阵，是任意自然数，则存在正定矩阵，使得.证明由于是正定矩阵，所以存在正交矩阵，使，其中，所以.令，则.定理5设是阶正定矩阵，是阶单位矩阵，则行列式.证明设的全部特征值为，由正定知，故的12全部特

6、征值为，因此.定理6设是阶正定矩阵，则：（1）对任意都有（2）的绝对值最大的元素必在主对角线上.证明(1)因为正定，从而的一切2阶主子式均大于0，当时，，移项后，开方即可（2）设的主对角线上最大的元素为（由于正定，），再由上面式.此即证即的绝对值最大的元素必在主对角线上.定理7设为阶正定矩阵，则其中为的主对角元素.证明设其中为的阶因为正定，所以正定，正定，那么.两边取行列式得因为正定，所以正定，，由式同理，其中为的级顺序主子式阵，这样继续下去，12.3实对称矩阵的判定方法定理1设为实对称正定矩阵，则都是正定矩阵.证明因为为实对称矩阵，有

7、，故是正定矩阵.因此都是正定矩阵，同理可得为是正定矩阵.定理2设为实对称矩阵，证明：当实数充分大时，是正定矩阵.证明，它的阶顺序主子式为.当充分大时，为对角占优的行列式，可得，从而是正定矩阵.定理3设为阶实对称矩阵，是一个实数，若的特征值均小于，则是正定矩阵.证明设是的特征值，则存在，使，即，说明是的特征值，由已知得，于是，又由于，所以是正定矩阵.定理4设为实对称正定矩阵，则对于任意整数，都是正定矩阵.12证明（1）当时，为正定矩阵.（2）当时，存在正交矩阵，使得，又，故，又，这样依次作次，可得是正定矩阵.定理5设是实对称正定矩阵，为实

8、矩阵，为的转置矩阵，则为正定矩阵的充要条件是的秩.证明必要性设为正定矩阵，则对任意的维非零列向量，有，于是，因此元齐次线性方程组只有零解，故系数矩阵的秩.充分性因为，故为实对称矩阵.若，则齐次线性方程组只有