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1、罗尔定理的推广及其应用摘要罗尔定理是微分中值定理中最基本的定理，也是最重要的定理之一，是沟通函数与其导数的桥梁。一般的数学分析教材中叙述的罗尔定理的条件要求是相当苛刻的，既要求函数在闭区间上连续、在开区间内可导，又要求函数在区间端点处的函数值相等。在这个背景下，本文通过放宽条件推导验证得出了更一般的结论，即广义的罗尔定理；此外还研究了罗尔定理的应用，如函数零点问题、方程根的个数问题，等等，让我们更好的了解这个定理的重要性。关键词：罗尔定理；推广；广义罗尔定理；应用；零点问题；根的个数ABSTRACTRolletheoremisdifferentialmid-val
2、uetheoremisthemostbasictheoremsandoneofthemostimportanttheorem,wasoneofitsderivativecommunicationfunctionbridge.GeneralmathematicalanalysistextbookofnarrativeRolletheoremrequirementisquiteharsh,requeststhefunctioniscontinuousontheclosedinterval,inopenintervaldifferentiableanddemandfun
3、ctionintheintervaltipfunctionvaluesequal.Underthisbackground,thispaperthroughrelaxingconditionsobtainedismoregeneralverificationconclusionthatthegeneralizedRolletheorem;InadditionalsostudiedtheapplicationofRolletheorem,suchasfunctionzeroproblems,thenumberofroot,equationofwait,andletus
4、betterunderstandtheimportanceofthistheorem.Keywords:Rolletheorem;Promotion;GeneralizedRolletheorem;Application;Zeroproblems;Rootnumberof目录1引言1页2罗尔定理的推广1页2.1区间两端极限都存在下的推广1页2.2区间端点处极限不存在下的推广3页3罗尔定理的应用7页3.1解决函数的零点问题7页3.2应用罗尔定理推导出拉格朗日中值定理和柯西中值定理10页3.3解决根的个数问题11页3.3.1结合不同中值定理证明方程根的个数问题11页3
5、.3.2罗尔定理在讨论多项式方程的根中的应用12页4总结13页参考文献14页致谢15页1引言函数与其导数是两个不同的函数；而导数只是反映函数在一点的局部特征；如果要了解函数在其定义域上的整体性态，就需要在导数及函数间建立起联系，微分中值定理就是这种作用。微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理。是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的工具。以罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是一整个微分学的理论基础。罗尔定理是微分学中的一个非常重要的定理，它不仅沟通了函数与导函数的关系，也是微积分学中许多
6、定理的基础，罗尔定理的叙述如下：定理1设函数在上连续，在内可导，且,那么至少存在一点,使得.罗尔定理对所涉及的函数的要求很是苛刻，所以我们希望能够得到一个更为宽泛的结论，因此有必要对它的条件进行放宽，那么放宽条件后我们能不能得到相同或类似的结论呢?此文所研究的就是放宽条件后的的罗尔定理（不妨将其称之为广义罗尔定理）的相关结论。而且还研究了罗尔定理的应用，如解决函数的零点问题、方程的根的存在个数问题等等。2罗尔定理的推广2.1区间两端极限都存在下的推广推论1设函数在区间上连续，在区间内可导，，其中A为常数，则至少存在一点，使得.推论2设在区间上连续,在区间内可导,且
7、,则至少存在一点,使得15.推论3设函数在区间上连续,在区间内可导,且,则至少存在一点,使得.推论4设函数在区间上连续,在区间内可导,且,则至少存在一点,使得.推论5设函数在区间上连续，在区间内可导，且，其中A为有限实数，则至少存在一点，使得.推论6设函数在区间上连续,在区间内可导,且,则至少存在一点,使得.推论7设函数在区间上连续,在区间内可导,且,其中A为有限实数,则至少存在一点,使得.推论8设函数在区间上连续,在区间内可导,且15,其中A为有限实数,则至少存在一点,使得.证明：下面仅给出推论8的证明.其它推论的证明与此类似.若是常值函数，则结论显然成立.下面
8、只讨论不是
