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1、本科毕业论文（设计）题目罗尔定理应用和推广研究学院数学与统计学院专业数学与应用数学年级2009级学号222009314012019姓名郑世凤指导教师杜文久成绩中2013年5月12日目录1罗尔定理的基本性质及应用21.1罗尔(Rolle)中值定理21.2几何意义21.3罗尔定理证明31.4在简单函数中讨论罗尔定理条件41.5利用罗尔定理证明Lagrange、Cauchy中值定理51.6利用罗尔定理解决零点问题72关于罗尔定理的进一步讨论112.1多元函数的的罗尔中值定理112.2任意区间和端点值上的
2、罗尔定理122.4广义罗尔在高中数学中的应用16结语18参考文献：19致谢19I罗尔定理应用和推广研究郑世凤数学与统计学院，重庆400715摘要：本论文探讨了罗尔定理的基本性质，并应用罗尔定理解决实际问题。同时近一步讨论罗尔定理，将其推广到更广泛的适用范围，并证明其可行性，最后运用推广的罗尔定理解决问题。关键词：罗尔定理；性质；应用；广义罗尔定理；RolletheoremanditsapplicationresearchShifengZhengSchoolofMathematicsandStati
3、stics,SouthwestUniversity,Chongqing400715,ChinaAbstract:ThispaperdiscussesthebasicpropertiesofRolle'stheorem,thenuseRolle'stheoremtosolvepracticalproblemsandapplications.Rolle'stheoremfurtherdiscussionatthesametime,willitspreadtothebroaderscopeofappli
4、cation,andproveitsfeasibility,finallyusingthepromotionofRolle'stheoremtosolvetheproblem.Keywords:Rolle'stheorem;Properties;Applications;Generalizedrolle'stheorem;引言微分中值定理是反映函数与导数之间联系的重要定理，也是微积分学的理论基础，在许多方面它都有重要的作用，在进行一些公式推导与定理证明中都有很多应用。如果要了解函数在其定义域上的整
5、体性态，就需要在导数及函数间建立起联系，微分中值定理就是起这种作用的。三大微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的工具。以罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是整个微分学的理论基础。第19页共19页尔定理是微分中值定理中的基础定理，以罗尔定理为基础可推导拉格朗日中值定理及柯西中值定理。罗尔定理本身不仅仅局限于讨论有限区间，在给出其他更弱条件下，我们将罗尔定理推广到更广泛的适应范围，帮助我
6、们在中学微分学教学中理解和解决函数与导数的相关问题。1罗尔定理的基本性质及应用1.1罗尔(Rolle)中值定理若函数满足如下条件:⑴在闭区间上连续;⑵在开区间内可导;⑶,则内至少存在一点,使得.1.2几何意义⑴在上连续表明曲线连同端点在内是无缝隙的;⑵在开区间内可导表明曲线在每一点处有切线存在;⑶表明曲线的割线直线平行于轴.罗尔定理的结论的直观意义是:在内至少能找到一点,.表明曲线上至少有一点的切线斜率为,也就平行于轴符合罗尔定理条件的曲线至少有一条水平切线.第19页共19页图11.3罗尔定理证明
7、方法一:根据是闭区间上连续函数的性质,由极值定理得在上有最大值和最小值.⑴如果,此时在上恒为常数,结论显然成立.⑵如果,由条件知,两个数中至少有一个不等于端点的函数值，不妨设,证法类似,那么必定在开区间内有一点使.因此,有,由费马引理可知.方法二:由于在处最大,故不论是正或负,总有,,因此，当时,,故由极限的保号性有第19页共19页而当时，.故.综上所述及存在知，必有证明完毕.1.4在简单函数中讨论罗尔定理条件了解了罗尔中值定理，我们便可以合理利用它的判定条件快速的判别一些中学遇到的简单函数导数的
8、零点问题。但是要满足罗尔定理，罗尔定理的三个条件缺一不可。 例1.1解:由题知:在上不连续;在内可导;;不存在，使得.中不满足罗尔定理在闭区间连续的条件，其结果也不服从罗尔定理。例1.2解:由题知:(1);(2)在上不可导;第19页共19页(3),则不存在,使得.题中不满足罗尔定理的条件(2),其结果也不服从罗尔定理.例1.3.解:由题知:(1);(2);(3),则不存在,使得.为此题中不满足罗尔定理的条件(3),其结果也不服从罗尔定理.面的例子说明如果函数要满足罗尔定理,那么它
