罗尔定理论文

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1、浅谈罗尔定理及拉格朗日定理推广及应用摘要：微分中值定理是导数应用的理论基础.本文在罗尔定理及拉格朗日定理原有描述的基础上，对其进行了推广，使其定理的适用范围更加广泛；同时，对罗尔定理在讨论方程根的存在性问题中的应用及拉格朗日定理在证明不等式和求极限问题中的应用进行了讨论，证实所得推广定理的有效性及实用性.关键词：罗尔定理；拉格朗日屮值定理；极限；导数一、罗尔定理推广及应用(一)罗尔定理推广1.罗尔定理描述若函数/(兀)满足下列条件：在闭区间S问连续；在开区间仏b)可导；f(b)=；则在仏b)内至少存在一点

2、歹，使f©=o・2.罗尔定理的推广2.1罗尔定理推广1设仏耳为有限或无限区间，几兀)在仏b)内可微，且lim/(x)=limf(x)=A(AnJ'为有限也口J为)，则至少存在一点gw(d,b),x—>xt使广⑷=0・证明：(1)设(a,b)为有限区间•若A是有限值，令c/(q+0),x=a,F(x)=

3、0充分大时，直线y=c与曲线y=/(尢)至少有两个焦点(尢],/(尢]))与(兀2，/(勺))'即/(X1)=/(%2)=C且兀1•兀2w(d,b)不妨设XKX2对/(%)在[x,xi]u(a,b)上应用罗尔定理，使得广(§)=0；(3)若A为有限值，⑺力)为无限区间.做变量替换，即选择函数x=x(t)9满足如下要求：虫仏,0),(这里(％0)是有限区间)，雄仏方)，#(/)存在且不变号•然后对符合函数/(x(r))在(&,0)应用仃)的结果.1)当q=-00,/?=+oo,即(a,b)=(-oo,+o

4、o).做变换x=tanr,令g(f)=/(tanr),则g(/)在(-彳,勻上满足⑴式的全部条件•故环卜雳>使gyro,而g'(「)=/'(tanr).sec2r,sec2r>0,于是取=tanre(-oo,4-oo),就是广(§)=0；2)若当d有限,=+00,即仏方)=(Q,+8),作变换兀(/)=__,a

5、a,b)=(-oo,b),做变换兀(/)=芈严，s

6、丐w（d,b），使得册沖g叫）e2.3罗尔定理推广3设f（x）,g（x）,/?（兀）在［a,b］±连续，在仏b）内可导，则使得/(a)g⑷h(a)/(b)g(b)h(b)=0.广⑷g'C)〃⑷证明：设由行列式性质知F@)=F(b)=O,则由于满足罗尔定理,则北W(d0),使得广£)=0,则问题得证.f(a)F(x)=讪g(a)/i(a)g(b)h(b)g(x)h(x)(-)罗尔定理的应用1•在讨论方程根的存在性问题时，可以应用罗尔定理.罗尔定理的条件很宽松，给一个定义在闭区间［d,b］上的函数，只需函数在

7、这个区间连续，可导(并不要求区间端点可导)，在要求/⑴满足条件f(a)=f(b).因此,可以应用罗尔中值定理解决一些复杂的代数方程的判根问题•其步骤一般是：分析命题条件T构造辅助函数/(兀)T验证/(兀)满足罗尔定理的条件T应用罗尔定理T命题结论.例1：若于(兀)在［d问上连续,在仏b)内可导(a>0)，证明:在仏“)内，方程2x{/(&)-/(a)}=(/?2-a2)/'(x)至少存在一个根.证明：令F(x)=［f(b)-f(a)}x2-(b2-a2)f(x)9显然,F(兀)在闰上连续，在(a,5)内可

8、导,而且F(a)=f(b)a2-b2f(a)=F(b)f根据罗尔定理，至少存在一个使得F(§)=(),则右2^{f(b)-f(a)}=(b2-a2)fr(4)>故在仏b)内,方程2x(f(b)-f(a)}=(b2-a2)ff(x).至少存在一个根.2.罗尔定理的推广也冇广泛的应用.在证明不等式时，首先我们可以根据不等式俩边的代数式选取不同的F(x)；其次，验证尸(兀)是否满足罗尔定理推广中的某种形式的条件；最后，应用定理进行解