罗尔中值定理.ppt

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1、一、罗尔中值定理引理(费马):设y=f(x)在开区间(a,b)内有定义.在x0(a,b)处取得最大值(最小值),且f(x)在x0处可导,则f'(x0)=0.证:因f(x)在x0处可导.§4－5微分中值定理设f(x0)为f(x)在开区间(a,b)内的最大值,即,x(a,b),有f(x)f(x0).故当

2、x

3、充分小时,有x0+x(a,b),从而f(x0+x)–f(x0)0因x0(a,b),(1)当x>0时,由保号性定理,令x0+,(2)当x<0时,由保号性定理,令x0–,综合(1),(2)有0

4、f'(x0)0,故f'(x0)=0,类似可证f(x)在x0取最小值的情形.注1.因f'(x0)表示曲线y=f(x)上点M(x0,f(x0))处切线斜率.而f'(x0)=0表示该点处切线斜率为0.因此,引理在几何上表示:若y=f(x)在(a,b)内部某点x0处取最大(小)值,且在x0可导,则在M(x0,f(x0))处的切线平行于x轴.如图bMax0yx0Mx0y=f(x)注2.若f(x)在区间[a,b]的端点a(或b)处取得最大(小)值.不能保证f'(a)(或f'(b))=0.即,在端点M(a,f(a))或M(b,f(

5、b))处切线不一定平行于x轴.如图.0abxyy=f(x)定理1.(罗尔中值定理).若y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b).则在(a,b)内至少存在一点,使得f.证:因f(x)在[a,b]上连续,从而可取得最大值M=f(x0)和最小值m=f(x1).其中,x0,x1[a,b](1)若m=M,因mf(x)M.即,Mf(x)M,所以f(x)=M.有f'x,故(a,b)有f'.(2)若m

6、f(a)(=f(b)),由引理,f'x0,记x0,即(a,b)使f'.不妨设M=fx0f(a)=f(b),故x0a,x0b,从而x0(a,b).bMax0yx0Mx0y=f(x)注1.几何意义:如图AB若连续曲线y=f(x)除端点外处处有不垂直于x轴的切线.且两端点的纵坐标相等.则在曲线上至少存在一点M.在M点的切线平行于x轴.也就是平行于弦AB.注2.从方程的角度看,f'表示是方程f'x的根.因此,罗尔定理的意义是若fx满足定理条件,则方程f'x在

7、(a,b)内至少有一个根.注3.定理的条件"f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,f(a)=f(b)"不能减弱.否则,结论不对.比如,f(x)=

8、x

9、在[–1,1]上连续.在除x=0外的每一点x处都可导.且f(–1)=f(1),但是,不存在(–1,1),使得f'()=0.如图0xy11y=

10、x

11、例1.设函数f(x)=(x1)(x2)(x3),试判断方程f'x有几个实根,分别在何区间?解:因为f(1)=f(2)=f(3),且f(x)在[1,2]上连续,在(1,2)内可导,由罗尔定理,1

12、(1,2),使f(1;同理,2,,使f'(2;又因f'(x是二次方程,至多两个实根,故f'(x有两个实根,分别位于(1,2)和(2,3)内.(1)修改:f(x)=(x1)(x2)(x3)(x4),结论如何?(2)修改:不解方程,问(x2)(x3)+(x1)(x3)+(x1)(x2)=0有几个实根,分别在何区间?二、拉格朗日中值定理在罗尔定理中,曲线上存在一点M,使得M点处切线平行于x轴.由于f(a)=f(b).从而该切线平行于弦AB.如果f(a)f(b),

13、那么在曲线上是否仍然存在一点M,使得M点处切线平行于弦AB呢?定理2.若y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则至少存在一点(a,b),使得如图:分析:注意到因此,拉格朗日定理回答了上述问题.xyAa0BMby=f(x)只须证即若将括号内函数看作(x).则只须证'()=0即可.这就是罗尔定理的结论.因此,只须证明(x)满足罗尔定理条件即可.证:构造函数,令易见,(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导.且即(a)=(b).由罗尔定理,(a,b),使'注1.若f(a)

14、=f(b),这正是罗尔定理的结论.公式可改写为f(b)–f(a)=f'(b–a).(a,b),也可写为f(a)–f(b)=f'(a–b),(a,b),因此,以后使用这一公式时,不须考虑是a>b,还是a