《罗尔中值定理》PPT课件

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1、4.1.1罗尔中值定理现在我们开始讨论函数导数的更进一步的结果，由于这些结果都与某一个区间内的某一个中间点处的导数值有关，所以，把这些结果统称为中值定理。本段要介绍的罗尔定理就是其中一个较简单的结果。定理1（罗尔定理）设函数f(x)在区间[a,b]上有定义，如果（1）函数f(x)在闭区间[a，b]上连续；（2）函数f(x)在开区间（a，b）内可导；（3）函数f(x)在区间两端点处的函数值相等，即f(a)=f(b);则在（a，b）内至少存在一个点a<

2、最小值m，即存在x1，x2[a,b]，使得f(x1)=M，f(x2)=m，以下分两种情况：(1)M=m;(2)Mm来讨论。（1）当M=m时，函数f(x)在区间[a,b]上为常数，于是它的导数在开区间（a，b）内恒为0，因此定理结论成立。（2）当Mm时，由条件f(a)=f(b)可知，函数的最大值和最小值中至少有一个是在开区间内取得，不妨设函数的最大值在开区间内取得，即x1(a,b)，使得f(x1)=M。根据函数可导性的条件，函数在x1处的导数一定存在。现在我们证明f(x1)=0。根据导数的定义，由于f(x1)=M为函数的最大值，所以同理从而即存

3、在=x1(a,b)，a<

4、=0，分别在区间(1,2),(2,3),(3,4),(4,5)内应用罗尔定理，可得方程f(x)=0至少有4个实根，但由于f(x)是一个4次多项式，至多有4个实根，因此，方程f(x)=0只有4个实根，并且分别位于区间(1,2),(2,3),(3,4),(4,5)内。例2设试证方程在区间(0,1)内至少有一个实根。证明：记则f(0)=f(1)=0，从而存在0<<1,使得4.1.2拉格朗日中值定理本段要介绍的拉格朗日中值定理是一个重要的中值定理，它可以看作是罗尔中值定理的推广。定理2（拉格朗日定理）设函数f(x)在[a,b]上有定义，如果（1）函数f

5、(x)在闭区间[a，b]上连续；（2）函数f(x)在开区间(a，b)内可导；则在(a，b)内至少存在一个点a<

6、)例1若x>0,试证证明：设函数f(x)=ln(1+x),取区间为[0，x]，则函数在区间[0，x]上连续，在（0，x）内可导，并且f(0)=0，f(x)=ln(1+x)，在区间[0，x]内应用拉格朗日中值定理，可得由于所以于是（证毕）例2试证

7、sinx-siny

8、

9、x-y

10、证明：设x

11、sinx-siny

12、

13、x-y

14、对于x>y的情况，类似地可以证明；而当x=y时是显然成立的。这样综合即知，对任意的x,y不等式均成立。练习：(1)试证

15、

16、cosx-cosy

17、

18、x-y

19、.(2)试证

20、arctgx-arctgy

21、

22、x-y

23、.4.1.3柯西中值定理本段要介绍的柯西中值定理可以看作是拉格朗日中值定理的推广。定理3（柯西中值定理）设函数f(x),g(x)在[a,b]上有定义，如果它们满足（1）函数f(x)，g(x)在闭区间[a，b]上连续；（2）函数f(x)，g(x)在开区间(a，b)内可导，且g(x)0；则在(a，b)内至少存在一个点a<

24、)=0,由罗尔定理，则在(a，b)内至少存在一个点a<