罗尔定理,拉格朗日定理

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1、罗尔(Rolle)定理设函数在闭区间上连续，在开区间上可导,且，则在内至少存在一点，使得。由于在闭区间上连续,则,存在.      若,则,内任意一点都可作为.       若,则由知与中至少有一个(不妨设为)在区间内某点取到,即,下面证明.       因为在处可导,所以极限存在,因而左、右极限都存在且相等，即，由于是在上的最大值， 所以不论或，都有，当时，，因而，当时，，因而，   所以，。拉格朗日定理罗尔定理：拉格朗日定理：若f(x)满足在『a，b』上连续，在(a，b)内可导，则在(a，b)内至少存在_∈，使(如图2).比较定理条件，罗尔定理中端点函数值相等，f，而拉格朗

2、日定理对两端点函数值不作限制，即不一定相等。我们要作的辅助函数，除其他条件外，一定要使端点函数值相等，才能归结为:1.首先分析要证明的等式：我们令……(1)则只要能够证明在(a，b)内至少存在一点∈，使f(∈t就可以了。由有，f(b)-tb=f(a)-ta……(2)分析(2)式，可以看出它的两边分别是F(X)=f(x)-tx在b,a观点的值。从而，可设辅助函数F(x)=f(x)-tx。该函数F(x)满足在{a.b{上连续，在(a，b)内可导，且F(a)=F(b)。根据罗尔定理，则在(a，b)内至少存在一点∈，使F。(∈)=O。也就是f(∈)-t=O，也即f(∈)=t，代人(1)

3、得结论2.考虑函数我们知道其导数为且有F(a)=F(b)=0.作辅助函数，该函数F(x)满足在[a，b]是连续，在(a，b)内可导，且fF。根据罗尔定理，则在(a，b)内至少存在一点∈，使F’从而有结论成立.。那么1.g在[a,b]上连续，2.g在(a,b)上可微，3.g(a)=g(b)=0。由罗尔定理，存在一点，使得g'(ξ)=0。即。