资源描述：
《罗尔定理、拉格朗日、柯西中值定理、洛必达法则与导数的应用.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、内容概要名称主要内容（3.1、3.2）3.1名称条件结论中值罗尔至少存在定理中值y=f(x)（1）在［a,b］上连续；（2）在（a,b）一点9（a,b）使得定理内可导；（3）f(a)=f(b)0拉格朗日y=f(x)（1）在［a,b］上连续；（2）在（a,b）至少存在一点上€（a,b）使得中值定理内可导f/(9=f(b)-f(a)b—a柯西至少存在中值f(x)、g（x）:（1）在［a,b］上连续，在（a,b）一点9（a,b）使得定理内可导；（2）在（a,b）内每点处g/（x）式0f/(9f(b)-f(a)g/(9b—a3.2基本形式洛必工型与—型未定式0旳达通分
2、或取倒数化为0DO法则1）血型：常用通分的手段化为上型或_型;基本形式0旳2）0，旳型：常用取倒数的手段化为0旳上型或一型，即：0旳00亠cQOQO08二二—或08=-—也；1/吆01/0«取对数化为000ln0一00基本形式1）0型：取对数得°»，其中皿0""“/0QOQQ或0lnOn08=n—1/0比2）100型：取对数得俨二e°ln1，其中血In1n0、0=二01/000odO0或吆，In1n二一；1/0处000lnco3）处型：取对数得处=e»亠0其中0In呛二08=二01/°°0odO0或0ln^二08==—。1/0旳课后习题全解习题3-1★1.下列
3、函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足，请求岀满足定理的数值。(1)f(x)=2x2-X-3,［_1,1.5］；(2)f(x)=x.3-x［0,3］。知识点：罗尔中值定理。思路:根据罗尔定理的条件和结论，求解方程f/(E)=0，得到的根E便为所求。解:(1)2丁f(x)=2x-x-3在［-1,1.5］上连续，在(-1,1.5)内可导，且f(-1)=f(1.5)=0，•••f(x)=2X-X-3在［—1,15］上满足罗尔定理的条件。令f(E)=4E_1=0得1a(-1,1.5)即为所求。4(2)tf(x)=x.3-x在［0,3］上连续，在(03)内可
4、导，且f(0)=f(3)=0，••f(x)=x・.3-x在［0,3］上满足罗尔定理的条件。令f(a-厂a-——&0，得a二2(0,3)即为所求。2、3-E★2.验证拉格朗日中值定理对函数y=4x3—5x2…X—2在区间［0,1］上的正确性。知识点：拉格朗日中值定理。思路：根据拉格朗日中值定理的条件和结论，求解方程f(a二f⑴一f(0)，若得到的根E［0,1］1-0则可验证定理的正确性。解:vy=f(x^4x3-5x2x-2在［0,1］连续，在(0,1)内可导，二y=4x3—5x2x-2在区间［0,1］上满足拉格朗日中值定理的条件。又f(1)=-2,f(0)二一
5、2，f(x)=12x2-10x•1，要使f徉)=f⑴-f(0)=0，只要：©=5兰用€(01)，1-012'二二鼻卫(0,1)，使f(卄也凹，验证完毕。121-0★3.已知函数f(x)=x4在区间［1,2］上满足拉格朗日中值定理的条件，试求满足定理的a解军：要使f(a=f(?：⑴，只要4a=15—-.：，从而a=-(1,2)即为满足定理的。★★4.试证明对函数y=px2qxr应用拉格朗日中值定理时所求得的点E总是位于区间的正中间。证明：不妨设所讨论的区间为［a,b］，则函数y=px2•qx•r在［a,b］上连续，在(a,b)内可导,22f(b)_f(a)前小(
6、pbqbr)_(paqar)从而有f(E)，即2E•q=b—ab—ab+a解得E，结论成立。232★5.函数f(x)=x与g(x)=x-1在区间［1,2］上是否满足柯西定理的所有条件？如满足，请求出满足定理的数值E。知识点:柯西中值定理。思路:根据柯西中值定理的条件和结论，求解方程■mLf(b)—f(a)，得到的根g(Eg(b)-g(a)解:(1,2)内的每一点处有32f(x)二x及g(x)二x1在［1,2］上连续，在(1,2)内可导，且在g(x)=2x=0，所以满足柯西中值定理的条件。要使丄■迫二f(2)-f(1)，只要茎=-，解g(E)g(2)-g(1)2
7、E314得E(1,2)，E即为满足定理的数值。9★★★6.设f(x)在［0,1］上连续，在(0,1)内可导，且f(1)=0。求证：存在E■(0,1)，使f(E、f(EE知识点:罗尔中值定理的应用f(e)思路:从f2E结论出发，变形为f2EEf(^)=0，构造辅助函数使其导函数为Ef/(x)x•f(x)，然后再利用罗尔中值定理，便得结论。构造辅助函数也是利用中值定理解决问题时常用的方法。证明：构造辅助函数F(x)二xf(x)，F(x)二f(x)•xf(x)根据题意F(x)二xf(x)在［0,1］上连续，在(0,1)内可导，且F(1)=1f(1)=0，F(0)=0
8、f(0)=0，从而由罗尔中值定理得：存
