罗尔、拉格朗日、柯西中值定理、洛必达法则与导数的应用

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1、中值定理与导数的应用内容概要名称主要内容（3.1、3.2）3.1中值定理名称条件结论罗尔中值定理：（1）在上连续；（2）在内可导；（3）至少存在一点使得拉格朗日中值定理：（1）在上连续；（2）在内可导至少存在一点使得柯西中值定理、：（1）在上连续，在内可导；（2）在内每点处至少存在一点使得3.2洛必达法则基本形式型与型未定式通分或取倒数化为基本形式1）型：常用通分的手段化为型或型；2）型：常用取倒数的手段化为型或型，即：或；取对数化为基本形式1）型：取对数得，其中或；2）型：取对数得，其中或；3）型：取对数得，其中或。课后习题全解习题3-1★1

2、.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足，请求出满足定理的数值。（1）；（2）。知识点：罗尔中值定理。思路：根据罗尔定理的条件和结论，求解方程，得到的根便为所求。解：（1）∵在上连续，在内可导，且，∴在上满足罗尔定理的条件。令得即为所求。（2）∵在上连续，在内可导，且，∴在上满足罗尔定理的条件。令，得即为所求。★2.验证拉格朗日中值定理对函数在区间上的正确性。知识点：拉格朗日中值定理。思路：根据拉格朗日中值定理的条件和结论，求解方程，若得到的根则可验证定理的正确性。解：∵在连续，在内可导，∴在区间上满足拉格朗日中值定理的条件。又

3、，，∴要使，只要：，∴，使，验证完毕。★3.已知函数在区间上满足拉格朗日中值定理的条件，试求满足定理的。解：要使，只要，从而即为满足定理的。★★4.试证明对函数应用拉格朗日中值定理时所求得的点总是位于区间的正中间。证明：不妨设所讨论的区间为，则函数在上连续，在内可导，从而有，即，解得，结论成立。★5.函数与在区间上是否满足柯西定理的所有条件？如满足，请求出满足定理的数值。知识点：柯西中值定理。思路：根据柯西中值定理的条件和结论，求解方程，得到的根便为所求。解：∵及在上连续，在内可导，且在内的每一点处有，所以满足柯西中值定理的条件。要使，只要，解

4、得，即为满足定理的数值。★★★6.设在上连续，在内可导，且。求证：存在，使。知识点：罗尔中值定理的应用。思路：从结论出发，变形为，构造辅助函数使其导函数为，然后再利用罗尔中值定理，便得结论。构造辅助函数也是利用中值定理解决问题时常用的方法。证明：构造辅助函数，根据题意在上连续，在内可导，且，，从而由罗尔中值定理得：存在，使，即。注：辅助函数的构造方法一般可通过结论倒推，如：要使，只要∴只要设辅助函数★★7.若函数在内具有二阶导函数，且，证明：在内至少有一点，使得。知识点：罗尔中值定理的应用。思路：连续两次使用罗尔中值定理。证明：∵在内具有二阶导

5、函数，∴在、内连续，在、内可导，又，∴由罗尔定理，至少有一点、，使得、；又在上连续，在内可导，从而由罗尔中值定理，至少有一点，使得。★★8.若4次方程有4个不同的实根，证明：的所有根皆为实根。知识点：罗尔中值定理的应用。思路：讨论方程根的情况可考虑罗尔中值定理。证明：令则由题意，有4个不同的实数零点，分别设为，∵在、、上连续，在、、上可导，又，∴由罗尔中值定理，至少有一点、、使得，即方程至少有3个实根，又三次方程最多有3个实根，从而结论成立。★★★9.证明：方程只有一个正根。知识点：零点定理和罗尔定理的应用。思路：讨论某些方程根的唯一性，可利用

6、反证法，结合零点定理和罗尔定理得出结论。零点定理往往用来讨论函数的零点情况；罗尔定理往往用来讨论导函数的零点情况。解：令，∵在上连续，且，，∴由零点定理，至少有一点，使得；假设有两个正根，分别设为、（），则在在上连续，在内可导，且，从而由罗尔定理，至少有一点，使得，这不可能。∴方程只有一个正根。★★10.不用求出函数的导数，说明方程有几个实根，并指出它们所在的区间。知识点：罗尔中值定理的应用。思路：讨论导函数的零点，可考虑利用罗尔中值定理。解：∵在、、上连续，在、、内可导，且，∴由罗尔中值定理，至少有一点、、，使得，即方程至少有三个实根，又方程

7、为三次方程，至多有三个实根，∴有3个实根，分别为、、。★★★11.证明下列不等式：（1）；（2）当时，；（3）设，证明；（4）当时，。知识点：利用拉格朗日中值定理。思路：用拉格朗日中值定理证明不等式的过程：寻找函数，通过式子（或）证明的不等式。证明：（1）令，∵在上连续，在内可导，∴由拉格朗日中值定理，得。（2）令，∵在上连续，在内可导，∴由拉格朗日中值定理，得，∵，∴，从而当时，。（3）令，∵在上连续，在内可导，∴由拉格朗日中值定理，得，∵，∴，即，。（4）令，∵在上连续，在内可导，∴由拉格朗日中值定理，得，∵，∴，即当时，。★★12.证明等

8、式：.知识点：（为常数）。思路：证明一个函数表达式恒等于一个常数，只要证证明：令，当时，有；当时，有，∴；∴成立。★★★13.证明：若函数在内满足关系