罗尔拉格朗日柯西中值定理洛必达法则与导数的应用

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1、第3章中值定理与导数的应用内容概要名称主要内容(3.1、3.2)3.1中值定理名称条件结论罗尔中值定理y=f(x):(1)在［以］上连续；(2)在(6Z,/?)内可导；(3)f(a)=f(b)至少存在一点(a，b)使得/z(f)=o拉格朗曰中值定理火=./•(%):(1)在［“,/?］上连续；(2)在(a,6)内可导至少存在一点(a，b)使得b-a柯西中值定理/(X)、g(x):(1)在［队6］上连续,在(6Z，/?)内可导；(2)在(a,6)内每点处gz(x)；eO至少存在一点(a，b)使得.n./•⑹-/•⑻g"(^)b-a3.2洛必达法则基本形式0°°一型与一型未定式

2、0OO通分或取倒数化为基木形式0CXO1)OO—OO型：常用通分的手段化为一型或一型；0OO0OO2)0*00型：常用取倒数的手段化为一型或一型，G

3、J:0OO00coOO0•OO=>=>—或0•oo=>=>——:1/oo01/0oo取对数化力基本形式1)0°型：取对数得0°=>e0,n0，其屮0.In0=>O.oo1/°°0OOOO或0•In00•=^>一；1/0OO2)r型:取对数得广，lnl,其中oo.In1=>oo•0=>0=>£1/oo0OOoo或=^>一；1/0oo3)oo()型：取对数得oo()=eGln'其中0•Inoo=>0•oo=>0£l/oo0oooo

4、或0.1nod>0<»二=^>—o1/0°°课后习题全解习题3-1★★4.试证明对函数y=y?x2+gx+r应用拉格朗日中值定理吋所求得的点f总是位于区M的正中M。证明：不妨设所讨论的区间为［6/力］,则函数少=px2+%+厂在［6Z,/?］上连续，在(67，/?)内可导，从而冇AD=側—炯，即2《切冲2+冲川-(戸2+^+r)，b-ab-a解得f=，结论成立。2★★8.若4次方程tZQX4+tz2x2+673X+tZ4=0冇4个不同的实根，证明：4<70x34-3a}x2+2a2x+a3=0的所冇根皆为实根，知识点：罗尔屮值定理的应用。思路：讨论方程根的惜况可考虑罗尔中值

5、定理。证明：令/(x)=6/ox--aAx'+a2x~+a3x+a4则由题意，/O)有4个不同的实数零点，分别设为XpX2,X3,X4,•••/(•^在!^,々］、［x2，x3］、［x3，x4］上连续，在(xpx2)、(x2，x3)、(x3,x4)上可导，乂/(^l)=/U2)=f(X3)=.,(X4)=0，•••由罗尔屮值定理，至少冇一点Ae(x,,x2)>G(x2,x3)、e(x3,x4)使得/(€,)=/(^2)=.广(么)=0，即方程4%x3+3a}x2+2a2x+ay=0至少有3个实根，又三次力*程最多冇3个实根，从而结论成立，★★★9.证明：方程X5+x—1=

6、0只冇一个正根。知识点：零点定理和罗尔定理的应用。思路：讨论某些方程根的唯一性，讨利用反证&，结合零点定理和罗尔定理得出结论。零点定理往往用來讨论函数的零点情况；罗尔定理往往用來讨论导函数的零点情况。解：令/(X)=x5+X—1，•••/(1)在

7、0，11上连续，且/(1)=1〉0，/(0)=-1<0,•••由零点定理，至少冇一点(0,1)，使得/(f)=f5+f—1=0;假设x5+%—1=0有两个正根，分别设为<、

8、方程％5+x—1=0只冇一个正根。★★★11.证明不列不等式：(1)arctan6/-arctanZ?ex；(3)设x>0,证明ln(l+x)

9、ex(x〉1)，•••/(x)在［l，x］上连续，在(l，x)内可导，•••由拉格朗曰中值定理，得e"—e=e4(x-l),•/1<