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《罗尔、拉格朗日、柯西中值定理、洛必达法则与导数的应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
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2、百度首页登录加入VIP意见反馈下载客户端2/18/2019罗尔、拉格朗日、柯西中值定理、洛必达法则与导数的应用-百度文库首页分类精品内容申请认证机构合作频道专区百度智慧课堂百度教育VIP百度文库教育专区高等教育理学第3章中值定理与导数的应用内容概要名称主要内容（3.1、3.2）3.1名称条件结论中值罗尔y=f(x)：（1）在[a,b]上连续；（2）在(a,b)至少存在一点ξÎ(a,b)使得定理中值定理内可导；（3）f(a)=f(b)/f(ξ)=0拉格y=f(x)：（1）在[a,b]上连续
3、；（2）在(a,b)至少存在一点xÎ(a,b)使得朗日中值内可导/f(b)-f(a)f(ξ)=定理b-a柯西f(x)、g(x)：（1）在[a,b]上连续，在(a,b)至少存在一点ξÎ(a,b)使得中值定理//fbfa内可导；（2）在(a,b)内每点处g(x)¹0f(ξ)()-()=/g(ξ)b-a3.2基本形式0¥型与型未定式洛必0¥达通分或取倒数化为0¥1）¥-¥型：常用通分的手段化为型或型；法则基本形式0¥0¥2）0×¥型：常用取倒数的手段化为型或型，即：0¥00¥¥0×¥ÞÞ或0×¥ÞÞ；1/¥01/0¥取对数化为00
4、0×ln0001）0型：取对数得0Þe，其中0×ln0Þ0×¥ÞÞ基本形式1/¥0¥¥或0×ln0Þ0×¥ÞÞ；1/0¥¥¥¥×ln12）1型：取对数得1Þe，00其中¥×ln1Þ¥×0ÞÞ1/¥0¥¥或¥×ln1Þ¥×0ÞÞ；1/0¥000×ln¥3）¥型：取对数得¥=e，00其中0×ln¥Þ0×¥ÞÞ1/¥0¥¥或0×ln¥Þ0×¥ÞÞ。1/0¥https://wenku.baidu.com/view/d4b2cf6527d3240c8447efcd.html1/332/18/2019罗尔、拉格朗日、柯西中值定理、洛必达
5、法则与导数的应用-百度文库课后习题全解习题3-1★1.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足，请求出满足定理的数值x。2（1）f(x)=2x-x-3,[-1,1.5]；（2）f(x)=x3-x,[0,3]。知识点：罗尔中值定理。/思路：根据罗尔定理的条件和结论，求解方程f(ξ)=0，得到的根ξ便为所求。2解：（1）∵f(x)=2x-x-3在[-1,1.5]上连续，在(-1,1.5)内可导，且f(-1)=f(1.5)=0，2∴f(x)=2x-x-3在[-1,1.5]上满足罗尔定理的条件。令f¢(ξ)=4ξ-1=
6、0得1ξ=Î(-1,1.5)即为所求。4（2）∵f(x)=x3-x在[0,3]上连续，在(0,3)内可导，且f(0)=f(3)=0，∴f(x)=x3-x在[0,3]上满足罗尔定理的条件。令ξf¢(ξ)=3-ξ-=0，得ξ=2Î(0,3)即为所求。23-ξ32★2.验证拉格朗日中值定理对函数y=4x-5x+x-2在区间[0,1]上的正确性。知识点：拉格朗日中值定理。f(1)-f(0)思路：根据拉格朗日中值定理的条件和结论，求解方程f¢(ξ)=，若得到的根ξÎ[0,1]则1-0可验证定理的正确性。3232解：∵y=f(x)=4x
7、-5x+x-2在[0,1]连续，在(0,1)内可导，∴y=4x-5x+x-2在区间[0,1]上满足拉格朗日中值定理的条件。又f(1)=-2,f(0)=-2，f¢(x)=12x2-10x+1，f(1)-f(0)5±13∴要使f¢(x)==0，只要：x=Î(0,1)，1-0125±13f(1)-f(0)∴$x=Î(0,1)，使f¢(ξ)=，验证完毕。121-04★3.已知函数f(x)=x在区间[1,2]上满足拉格朗日中值定理的条件，试求满足定理的ξ。33f(2)-f(1)31515解：要使f¢(ξ)=，只要4ξ=15Þx=，从而
8、ξ=Î(1,2)即为满足定理2-144的x。https://wenku.baidu.com/view/d4b2cf6527d3240c8447efcd.html2/332/18/2019罗尔、拉格朗日、柯西中值定理、洛必达法则与导数的应用-百度文库2★★4.试证明对函数y=px+qx+r应用拉格朗日中值定理时所求得的点ξ总是位于区间的正中间。2证明：不妨设所讨论的区间为[a,b]，则函数y=px+qx+r在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，从22f(b)-f(a)(pb+qb+r)-(pa+qa+r)而有f¢(ξ)=，即
9、2ξ+q=，b-ab-ab+a解得ξ=，结论成立。232★5.函数f(x)=x与g(x)=x+1在区间[1,2]上是否满足柯西定理的所有条件？如满足，请求出满足定理的数值ξ。知识点：柯西中值定理。f¢(ξ)f(b)-f(a)思路：根据柯西中值定理的条件和结论，求解方程=，得到的根ξ便为所求
