罗尔、拉格朗日、柯西中值定理、洛必达法则、泰勒公式等与导数的应用

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1、中值定理与导㟿的应用内容概要਽称ѫ要内容˄3.令ǃ3.以˅3.令਽称条Ԧ结论中值罗尔y=f(x)˖˄令˅在[a,b]к连续˗˄以˅在(a,b)至少存在一点ξ∈(a,b)使得定理中值定理/内可ሬ˗˄3˅f(a)=f(b)f(ξ)=0拉格y=f(x)˖˄令˅在[a,b]к连续˗˄以˅在(a,b)至少存在一点ξ∈)b,a(使得朗日中值内可ሬ/f(b)−f(a)f(ξ)=定理b−a柯西f(x)ǃg(x)˖˄令˅在[a,b]к连续ˈ在(a,b)至少存在一点ξ∈(a,b)使得中值定理//内可ሬ˗˄以˅在(a,b)内⇿点处g(x)≠0f(ξ)f(b)−f(a)=/g(ξ)b−a3.以基本形式0∞型о型未定式

2、洛必0∞达通࠶或取倒数化Ѫ0∞令˅∞−∞型˖常用通࠶的手段化Ѫ型或型˗法则基本形式0∞0∞以˅0⋅∞型˖常用取倒数的手段化Ѫ型或型ˈ即˖0∞00∞∞0⋅∞⇒⇒或0⋅∞⇒⇒˗1/∞01/0∞取对数化Ѫ000ln0⋅00令˅0型˖取对数得0⇒eˈަ中0ln0⋅⇒⋅∞⇒0⇒基本形式1/∞0∞∞或0ln0⋅⇒⋅∞⇒0⇒˗1/0∞∞∞∞⋅ln1以˅1型˖取对数得1⇒eˈ00ަ中∞⋅ln1⇒∞⋅⇒0⇒1/∞0∞∞或∞⋅ln1⇒∞⋅⇒0⇒˗1/0∞000⋅ln∞3˅∞型˖取对数得∞=eˈ00ަ中0ln⋅∞⇒⋅∞⇒0⇒1/∞0∞∞或0ln⋅∞⇒⋅∞⇒0⇒DŽ1/0∞课后习题全解习题3-1★令.л列函数在给定区间

3、к是否满足罗尔定理的所有条Ԧ？如满足ˈ请求ࠪ满足定理的数值ξDŽ2˄令˅f(x)=2x−x−,[3−11.,]5˗˄以˅f(x)=x3−,x0[,]3DŽ知识点˖罗尔中值定理DŽ/思路˖根据罗尔定理的条Ԧ和结论ˈ求解方程f(ξ)=0ˈ得到的根ξ便Ѫ所求DŽ2解˖˄令˅Ĩf(x)=2x−x−3在[−11.,]5к连续ˈ在(−)5.1,1内可ሬˈ且f(−)1=f1(.)5=0ˈ2ħf(x)=2x−x−3在[−11.,]5к满足罗尔定理的条ԦDŽԔfξ′()=4ξ−=10得1ξ=∈(−11.,)5即Ѫ所求DŽ4˄以˅Ĩf(x)=x3−x在0[,]3к连续ˈ在0(,)3内可ሬˈ且f)0(=f)3(=0ˈħf(x)

4、=x3−x在0[,]3к满足罗尔定理的条ԦDŽԔξfξ′()=3−−ξ=0ˈ得ξ=2∈0(,)3即Ѫ所求DŽ23−ξ32★以.验证拉格朗日中值定理对函数y=4x−5x+x−2在区间0[,]1к的↓确性DŽ知识点˖拉格朗日中值定理DŽf(1)−f(0)思路˖根据拉格朗日中值定理的条Ԧ和结论ˈ求解方程fξ′()=ˈ若得到的根ξ∈0[,]1则10−可验证定理的↓确性DŽ3232解˖Ĩy=fx()=4x−5x+−x2在0[,]1连续ˈ在0(,)1内可ሬˈħy=4x−5x+x−2在2区间0[,]1к满足拉格朗日中值定理的条ԦDŽ又f)1(=−2,f)0(=−2ˈfx′()12=x−10x+1ˈf(1)−f(0)5±

5、13ħ要使f′()ξ==0ˈ只要˖ξ=∈(01),ˈ10−125±13f(1)−f(0)ħ∃=ξ∈(01),ˈ使fξ′()=ˈ验证完∅DŽ1210−4★3.已知函数f(x)=x在区间1[,]2к满足拉格朗日中值定理的条Ԧˈ试求满足定理的ξDŽ33f(2)−f(1)31515解˖要使fξ′()=ˈ只要4ξ=15⇒ξ=ˈ从而ξ=∈(12),即Ѫ满足定理21−44的ξDŽ2★★4.试证明对函数y=px+qx+r应用拉格朗日中值定理时所求得的点ξ总是位于区间的↓中间DŽ2证明˖н妨设所讨论的区间Ѫ[a,b]ˈ则函数y=px+qx+r在[a,b]к连续ˈ在(a,b)内可ሬˈ从22fb()−fa()(pb+qb+

6、r)−(pa+qa+r)而有fξ′()=ˈ即2ξ+q=ˈba−b−ab+a解得ξ=ˈ结论成立DŽ232★5.函数f(x)=xоg(x)=x+1在区间1[,]2к是否满足柯西定理的所有条Ԧ？如满足ˈ请求ࠪ满足定理的数值ξDŽ知识点˖柯西中值定理DŽfξ′()fb()−fa()思路˖根据柯西中值定理的条Ԧ和结论ˈ求解方程=ˈ得到的根ξ便Ѫ所求DŽgξ′()gb()−ga()32解˖Ĩf(x)=x及g()x=x+1在1[,]2к连续ˈ在1(,)2内可ሬˈ且在1(,)2内的⇿一点处有2fξ′()f(2)−f(1)3ξ7gx′()=2x≠0ˈ所ԕ满足柯西中值定理的条ԦDŽ要使=ˈ只要=ˈ解gξ′()g(2)−g(

7、1)2ξ314得ξ=∈1(,)2ˈξ即Ѫ满足定理的数值DŽ9★★★6.设f(x)在0[,]1к连续ˈ在0(,)1内可ሬˈ且f)1(=0DŽ求证˖f()ξ存在ξ∈0(,)1ˈ使fξ′()=−DŽξ知识点˖罗尔中值定理的应用DŽ/f(ξ)/思路˖从f(ξ)=−结论ࠪ发ˈ变形Ѫf(ξ)ξ+f(ξ)=0ˈ构造辅助函数使ަሬ函数Ѫξ/f(x)x+f(x)ˈ然ਾ再利用罗尔中值定理ˈ便得结论DŽ构造辅助函数ҏ是利用中值定