陪集与拉格朗日定理

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1、第四节陪集与拉格朗日定理一、陪集及其性质1．陪集定义及实例2．陪集的基本性质二、拉格朗日定理及其应用1．拉格朗日定理及其推论2．拉格朗日定理的应用实例第四节陪集与拉格朗日定理一、陪集及其性质1．陪集定义及实例定义11.9设H是G的子群，a∈G.令Ha={ha

2、h∈H}称Ha是子群H在G中的右陪集.称a为Ha的代表元素.例设A={1,2,3}，f1,f2,…,f6是A上的双射函数.其中f1={<1,1>,<2,2>,<3,3>}，f2={<1,2>,<2,1>,<3,3>}f

3、3={<1,3>,<2,2>,<3,1>}，f4={<1,1>,<2,3>,<3,2>}f5={<1,2>,<2,3>,<3,1>}，f6={<1,3>,<2,1>,<3,2>}令G={f1,f2,…,f6}，则G关于函数的复合运算构成群.考虑G的子群H={f1,f2}.做出H的全体右陪集如下：Hf1={f1f1,f2f1}={f1,f2}=H，Hf2={f1f2,f2f2}={f2,f1}=HHf3={f1f3,f2f3}={f3,f5}，Hf4={f1f4,f2

4、f4}={f4,f6}Hf5={f1f5,f2f5}={f5,f3}，Hf6={f1f6,f2f6}={f6,f4}Hf1=Hf2，Hf3=Hf5，Hf4=Hf6.2．陪集的基本性质定理11.8设H是群G的子群，则（1）He=H（2）a∈G有a∈Ha.定理11.9设H是群G的子群，则a,b∈G有a∈Hbab1∈HHa=Hb定理11.10设H是群G的子群，在G上定义二元关系R：a,b∈G,∈Rab1∈H则R是G上的等

5、价关系，且[a]R=Ha.证先证明R为G上的等价关系.自反性.任取a∈G，aa1=e∈H∈R对称性.任取a,b∈G，则∈Rab1∈H(ab1)1∈Hba1∈H∈R传递性.任取a,b,c∈G，则∈R∧∈Rab1∈H∧bc1∈Hac1∈H∈R下面证明：a∈G，[a]R=Ha.任取b∈G，b∈[a]R∈Rab1∈HHa=Hbb∈Ha推论设H是群G的子群,则（1）a,b∈G，Ha=Hb或H

6、a∩Hb=（2）∪{Ha

7、a∈G}=G定理11.11设H是群G的子群，则a∈G，H≈Ha类似地，也可以定义H的左陪集，即aH={ah

8、h∈H}，a∈G关于左陪集有下述性质：（1）eH=H（2）a∈G，a∈aH（3）a,b∈G，a∈bHb1a∈HaH=bH（4）若在G上定义二元关系R，a,b∈G，∈Rb1a∈H则R是G上的等价关系，且[a]R=aH.（5）a∈G，H≈aH例题：设G为模12加群,求<3>在G中

9、所有的左陪集.解：<3>={0,3,6,9},<3>的不同左陪集有3个，即0+<3>=<3>,1+<3>=4+<3>=7+<3>=10+<3>={1,4,7,10},2+<3>=5+<3>=8+<3>=11+<3>={2,5,8,11}.对于有限群G，子群H的不同的右陪集数为

10、G

11、/

12、H

13、.第一个右陪集就是H自身.任选元素aGH，求Ha,作为第二个右陪集.任选元素bG(HHa),做第三个陪集Hb.任选元素cG(HHaHb),做第四个右陪集，….依次做下去，由于G是有限群，经过有限步就

14、可以得到G的全体右陪集.分析：求群的所有陪集的方法，以右陪集为例加以说明.二、拉格朗日定理及其应用1．拉格朗日定理及其推论证设R是G中的一个等价关系，所以由定理11.10知，R必将G划分成不同的等价类[a1]R,[a2]R,…,[ak]R,使得G=Ha1∪Ha2∪…∪Har

15、G

16、=

17、Ha1

18、+

19、Ha2

20、+…+

21、Har

22、由定理11.11知，Hai≈H，所以

23、Hai

24、=

25、H

26、＝m，i=1,2,…,k,得n＝

27、G

28、=

29、H

30、·k=m·k从而m

31、n定理11.12（Lagrange）设G

32、是有限群，H是G的子群，

33、G

34、=n,

35、H

36、=m,则m

37、n推论1设G是n阶群，则a∈G，

38、a

39、是n的因子，且有an=e.推论2对阶为素数的群G，必存在a∈G使得G=.证任取a∈G，是G的子群，的阶是n的因子.是由a生成的子群，若

40、a

41、=r，则={a0=e,a1,a2,…,ar1}即的阶与

42、a

43、相等,所以

44、a

45、是n的因子.从而an=e.证设

46、G

47、=p，p是素数.由p≥2知G中必存在非单位