陪集和拉格朗日定理

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1、yuliang@mti.xidian.edu.cn12021/9/206.7陪集和拉格朗日定理陪集：设是群的一个子群，a∈G,则集合aH={a*b

2、b∈H},称为由a确定的H在G中的左陪集。元素a∈aH称为左陪集aH的代表元素。同理，Ha={b*a

3、b∈H}称为由a确定的H在G中的右陪集。yuliang@mti.xidian.edu.cn22021/9/206.7陪集与拉格朗日定理【例题】<{0,2,4},+6>是的子群，求<{0,2,4},+6>的所有左陪集。解答：由0确定的左陪集：{0,2,4}由1确定的左

4、陪集：{1,3,5}由2确定的左陪集：{0,2,4}由3确定的左陪集：{1,3,5}由4确定的左陪集：{0,2,4}由5确定的左陪集：{1,3,5}yuliang@mti.xidian.edu.cn32021/9/206.7陪集与拉格朗日定理【例题】设G=R×R,R为实数集，G上的一个二元运算+定义为+=显然，是一个具有幺元<0,0>的阿贝尔群。设H={

5、y=2x,x,y∈R},很容易验证是的子群。对于∈G,求H关于的左陪集

6、。yuliang@mti.xidian.edu.cn42021/9/206.7陪集与拉格朗日定理解答：H={

7、y=2x}={

8、(y’-y0)=2(x’-x0)}这个例子的几何意义：G是二维平面，H是通过原点的一条直线y=2x,陪集H是通过点且平行于H的一条直线。那么，集合{H

9、∈G}构成G的一个划分。yuliang@mti.xidian.edu.cn52021/9/206.7陪集性质『定理』设是群的一个子群，aH和bH是任意两个

10、左陪集，那么aH=bH或aH∩bH=φ。证明：假设aH∩bH≠φ,则存在元素h1∈H,h2∈H使得a*h1=b*h2=c。则有a=b*h2*h1-1。任取x∈aH,存在h3∈H,使得a*h3=x=b*(h2*h1-1*h3)yuliang@mti.xidian.edu.cn62021/9/206.7陪集性质而h2*h1-1*h3∈H,所以x∈bH。因此,aHbH。同理可以得到bHaH。这样，可以得到aH=bH。又aH和bH都是非空集合，aH=bH或aH∩bH=不可兼得。所以定理得证。yuliang@mti.xidian.edu.cn72021/

11、9/206.7陪集性质『定理』设是群的一个子群，aH和bH是任意两个左陪集，那么

12、aH

13、=

14、bH

15、=

16、H

17、。证明：a∈G,对于H中任意元素h1,h2∈H,若h1≠h2,则必有a*h1≠a*h2所以

18、aH

19、=

20、H

21、。同理也有

22、bH

23、=

24、H

25、。yuliang@mti.xidian.edu.cn82021/9/206.7陪集性质『定理』设是群的一个子群，a,b∈G,aH是由a确定的H在G中的左陪集。b∈aH当且仅当a-1*b∈H。证明：b∈aH当且仅当存在h∈H,使得a*h=b,即h=a-1*b∈H。yulia

26、ng@mti.xidian.edu.cn92021/9/206.7拉格朗日定理『定理』(拉格朗日定理)设是群的一个子群，那么有(1)R={

27、a∈G∧b∈G∧a-1*b∈H}是G中的等价关系，且有[a]R=aH。(2)若G是有限群，

28、G

29、=n,

30、H

31、=m,则m

32、n。证明：(1)(i)(证明R是自反的)任取a∈G,则a-1∈G,可得a*a-1=e∈H因此∈R，R是自反的。1736－1813yuliang@mti.xidian.edu.cn102021/9/206.7拉格朗日定理(ii)(证明R是对称的)若

33、,b>∈R,则a-1*b∈H。因为是的子群，则有(a-1*b)-1∈H,即b-1*a∈H,即∈R。因此R是对称的。(iii)(证明R是传递的)若∈R,∈R,则a-1*b∈H,且b-1*c∈R。因此有(a-1*b)*(b-1*c)=a-1*c∈R所以∈R。因此R是传递的。yuliang@mti.xidian.edu.cn112021/9/206.7拉格朗日定理由(i)、(ii)、(iii)可知，R是G上的一个等价关系。(2)由于R是G上的一个等价关系，所以必将G划分成不同的等价类[a1]

34、R,[a2]R,…,[ak]R，使得G==又因为

35、aH

36、=

37、H

38、=m，故有n=

39、G

40、=

41、

42、==k

43、H

44、=km即m

45、n。yuliang@mti.xidi