三、阿贝尔群和循环群、陪集与拉格朗日定理、同态同构

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1、5.5阿贝尔群和循环群一.阿贝尔群定义如果群中的运算*是可交换的，则称该群为阿贝尔群，或称交换群。例设是有限的可交换独异点，且对任意的a,b,c∈S，等式a*b=a*c蕴含着b=c，证明是阿贝尔群。分析只要证明S中的每个元素都存在逆元，那么就是阿贝尔群。设任意的b∈S……存在正整数i，j，使得bi=bj（i是一个群，是阿贝尔群的充要条件是对任意的a,b∈G，有(a*b)*(a*b)=(a*a)*(

2、b*b)。证明1）充分性设对任意的a,b∈G，有(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)因为a*(a*b)*b=(a*a)*(b*b)=(a*b)*(a*b)=a*(b*a)*b所以a-1*(a*(a*b)*b)*b-1=a-1*(a*(b*a)*b)*b-1即(a-1*a)*(a*b)*(b*b-1)=(a-1*a)*(b*a)*(b*b-1)即得a*b=b*a，因此是阿贝尔群。2）必要性设是阿贝尔群，则对任意的a,b∈G，有a*b=b*a因此(a*a)*(b*b)=a*(a*b)*b=a*(b*a)*b=(a

3、*b)*(a*b)循环群定义设是群，若在G中存在一个元素a，使得G中的任意元素都由a的幂组成，则称该群为循环群，元素a称为循环群的生成元。循环群的生成元可以不唯一ａ　ｂ　ｅｂ　ｅ　ａｅ　ａ　ｂａ　ｂ　ｅａｂｅ*a*a=ba*a*a=eb*b=ab*b*b=e定理2任何一个循环群必定是阿贝尔群。证明设是一个循环群，生成元为a，那么对于任意的x,y∈G，必有r,s∈I，使得x=ar和y=as且x*y=ar*as=ar+s=as+r=as*ar=y*x因此是一个阿贝尔群。定理3设是一个由元素a∈

4、G生成的有限循环群。如果G的阶数是n，即

5、G

6、=n，则an=e，且G={a，a2，a3，…，an-1，an=e}，其中e是中的幺元，n是使an=e的最小正整数。证明假设对于某个正整数m，m是一个循环群，所以G中的任何元素都能写为ak(k∈I)，设k=mq+r，其中，q是某个整数，0≤r＜m。这就有ak=amq+r=(am)q*ar=ar这就导致G中的每一个元素都可以表示成ar(0≤r＜m)，这样，G中最多有m个不同的元素，与

7、G

8、=n矛盾。所以am=e(m

9、一步证明a，a2，a3，…，an-1，an都不相同。(反证)假设ai=aj，其中1≤i＜j≤n，就有aｉ=aｉ*aj-i=aｉ*e，即aj-i为幺元，而且1≤j-i＜n，这已经由上面证明是不可能的。所以，a，a2，a3，…，an-1，an都不相同，因此G={a，a2，a3，…，an-1，an=e　}作业P200(1)(5)5.7陪集与拉格朗日定理一.A、B的积，A的逆定义设是一个群，A,B∈P(G)且A≠，B≠，记AB={a*b

10、a∈A,b∈B}和A-1={a-1

11、a∈A}分别称为A,B的积和A的逆。二.陪集定义设

12、是群的一个子群，a∈G，则集合{a}H(H{a})称为由a所确定的H在G中的左陪集（右陪集），简称为H关于a的左陪集（右陪集），记为aH(Ha)。元素a称为陪集aH(Ha)的代表元素。拉格朗日定理设是群的一个子群，那么R={

13、a∈G,b∈G且a-1*b∈H}是G中的一个等价关系。对于a∈G，若记[a]R={x

14、x∈G且∈R}则[a]R=aH2)如果G是有限集，

15、G

16、=n，

17、H

18、=m，则m

19、n.（即ｍ整除ｎ）证明1)Ｉ：对于任一a∈G，必有a-1∈G，使a-1*a=e∈H，所以∈R

20、，即Ｒ是自反的。II：对于任意a,ｂ∈G，若∈R，则a-1*b∈H，因为H是G的子群，故(a-1*b)-1=b-1*a∈H，所以∈R，即Ｒ是对称的。III：对于任意a,ｂ,c∈G，若∈R，∈R，则a-1*b∈H，b-1*c∈H，所以a-1*b*b-1*c=a-1*c∈H，故∈R，即Ｒ是传递的。对于a∈G，我们有：b∈[a]R∈Ra-1*b∈Hb∈aH。因此[a]R=aH2)由于R是G中的一个等价关系，所以必定将G划分成不同的等价类[a1]R，[a2]R，…，[ak]R，使得

21、又因为，H中任意两个不同的元素h1，h2，必有a*h1≠a*h2(a∈G)，所以

22、aiH

23、=

24、H

25、=m，i=1,2,…,k。因此n=

26、G

27、===mk推论1任何质数阶的群不可能有非平凡子群。推论