阿贝尔群和循环群.ppt

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1、5-5阿贝尔群和循环群定义5-5.1：如果群中的运算*是可交换的，则称该群为阿贝尔群，或称交换群。例题1：设G为所有n阶非奇（满秩）矩阵的集合，矩阵乘法运算。作为定义在集合G上的二元运算，则是一个不可交换群。解：任意两个n阶非奇矩阵相乘后，仍是一个非奇矩阵，所以运算是封闭的。矩阵乘法运算是可结合的。n阶单位阵E是G中的幺元。任意一个非奇阵A存在着唯一的逆阵，使AA-1=A-1A=E但矩阵乘法是不可交换的，因此，是一个不可交换群。定理5-5.1:设是一个群，是

2、阿贝尔群的充要条件是对任意的a,b∈G,有(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)。证明:充分性设对任意a,b∈G,有(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)因为a*(a*b)*b=(a*a)*(b*b)=(a*b)*(a*b)=a*(b*a)*b所以a-1*(a*(a*b)*b)*b-1=a-1*(a*(b*a)*b)*b-1即得a*b=b*a因此，群是阿贝尔群。必要性设是阿贝尔群，则对任意的a,b∈G有a*b=b*a因此(a*a)*(b*b)=a*(a*b)*b=a*(b*a)

3、*b=(a*b)*(a*b)定义5-5.2：设为群，若在G中存在一个元素a,使得G中的任意元素都由a的幂组成，则称该群为循环群，元素a称为循环群G的生成元。例如：60°就是群<{0°，60°，120°，180°，240°，300°}，★>的生成元，因此，该群是循环群。定理5-5.2：任何一个循环群必定是阿贝尔群。证明：设是一个循环群，它的生成元是a,那么，对于任意的x,y∈G,必有r,s∈Z，使得x=ar和y=as而且x*y=ar*as=ar+s=as+r=as*ar=y*x因此，是一

4、个阿贝尔群。对于有限循环群，有下面的定理。定理5-5.3：设是一个由元素a∈G生成的有限循环群。如果G的阶数是n,即

5、G

6、=n,则an=e且G={a，a2，a3，…，an-1,an=e}，其中，e是中的幺元，n是使an=e的最小正整数（称n为元素a的阶）。证明：假设对于某个正数m，m是一个循环群，所以G中的任何元素都能写为ak(k∈Z)，而且k=mq+r其中，q是某个整数，0≤r

7、示成ar(0≤r

8、G

9、=n相矛盾。所以am=e(m

10、　δβ　α　δ　γγ　δ　β　αδ　γ　α　β解：由运算表5-5.2可知运算*是封闭的，α是幺元。β，γ和δ的逆元分别是β，δ和γ。可以验证运算*是可结合的。所以是一个群。在这个群中，由于2,3,4,以及2,2,4故群是由γ或δ生成的，因此是一个循环群。从本例可以看到：一个循环群的生成元可以不是唯一的。作业5-5P200(1)(4)5-7陪集与拉格朗日定理定义5-7.1：设是一个群，A，B∈P(G)且A≠，B≠，记AB=

11、{a*b

12、a∈A,b∈B}和A-1={a-1

13、a∈A}，分别称为A，B的积和A的逆。定义5-7.2：设是群的一个子群a∈G，则集合{a}H称为由a所确定的H在G中的左陪集，简称为H关于a的左陪集，记为aH。元素a称为陪集aH的代表元素。（H{a}）（右陪集）（右陪集）(Ha)(Ha)例1：是群的子群，则{0}IE=IE,{2}IE=IE,{-2}IE=IE,……{1}IE=Io,{-1}IE=Io,{3}IE=Io，……所以，{IE,Io}是对于I(整数集)的一个划分。定理

14、5-7.1（拉格朗日定理）设是群的一个子群，那么R={

15、a∈G,b∈G且a-1*b∈H}是G中的一个等价关系。对于a∈G,若记[a]R={x

16、x∈G且∈R}，则[a]R=aH如果G是有限群，

17、G

18、=n,

19、H

20、=m,则m

21、n。证明：(a)对于任一a∈G,必有a-1∈G,使a-1*a=e∈H,所以∈R。若