循环群,子群.ppt

《循环群,子群.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、Inourclasses,allthemobilephonesshouldbeswitchedoff!上课啦！Theclassisbegin!二、群中元素的阶前面已介绍了群的阶：

2、G

3、=G中所含元素的个数。下面利用单位元e，引入另一个新概念。1．阶的定义与计算（1）定义设G为群，而aG.如果有整数k，使ak=e，那么使这个等式成立的最小正整数m叫做G的阶，记为

4、a

5、=m.如果这样的m不存在，则称a的阶是无限的，记为

6、a

7、=+∞。（2）阶的计算方法按照定义寻找使成立的最小正整数。例1乘法群Z5*={[1],[2],[3],[4]}中，[1]是单位元，显然

8、

9、[1]

10、=1，而[2]12=[2]8=[2]4=[1]，

11、[2]

12、=4,同理知

13、[3]

14、=4,

15、[4]

16、=2。例2加法群={[0],[1],[2],[3],[4]}中，[0]是单位元，例3加法群中，0是单位元。

17、0

18、=1，而其它元素a,

19、a

20、=+∞。例4乘法群中，1是单位元，

21、1

22、=1,

23、-1

24、=2，而其它元素的阶都是无限。说明加法群中，元素的阶的定义自然需做相应的变化：设aG，能够使ma=0的最小正整数m叫做a的阶，若这样的m不存在，则称a的阶是无限的，a的阶仍记为

25、a

26、。例5设G={0,1,2}

27、是由x3=1的三个复根组成的集合，而G中的代数运算“○”是通常的乘法，那么必为一个乘法群。习惯上记为G3，叫做3次单位根群。这里证事实上（1）（2）结合律显然成立（因为复数集C中满足结合律）.（3）0=1是G中的单位元.（4）0的逆元是0，1与2互为逆元.所以为一个乘法群。不仅如此，我们还知：例6在非零有理数乘群Q*中，1的阶是1，-l的阶是2，其余元素的阶均无限．例7在4次单位根群G={1,-1,i,-i}中,1的阶是l，-l的阶是2，i与-i的阶都是4．2．群中元素的阶的性质性质1设G是群，那么aG，若存在mZ+，使

28、am=e

29、a

30、m（可知a的阶是有限的）。证明由于am=e，这本身说明

31、a

32、<+∞，令

33、a

34、=k，若k>m，则与元素的阶的定义矛盾，故知km。性质2设aG,且若存在mZ+使am=e

35、a

36、=n<+∞,且n

37、m(但不能保证n=m)。证明由整数的带余除法知,g,rZ使m=ng+r,r=0或者0

38、m.性质3设aG且

39、a

40、=n,那么n

41、mam=e.证明“”正是性质2.“”性质4设群G中元素a的阶是m,则

42、ak

43、=

44、m/(m,k),其中k为任意整数．证明首先，设(k,m)=d，且m=dm1,k=dk1,(m1,k1)=1,则由于

45、a

46、=m,就有,即其次,设(ak)n=e,则akn=e.于是由性质1,m

47、kn，从而m1

48、k1n,但(m1,k1)=1,故m1

49、n,因此,ak的阶是m1,所以

50、ak

51、=m1=m/(k,m).说明若有[m,n]的约数h,使[m,n]=hk，则可得

52、ck

53、=h，于是结论（3）又可以改为：对[m,n]的任一正因数h,G中有阶是h的元素。性质9群的元素和它的逆元有相同的阶.证明设群G的元素a与a-1的阶分别为m,n，由于am=e，于是(a-1)m=(

54、am)-1=e-1=e，由性质l，n

55、m，而an=[(a-1)-1]n=[(a-1)n]-1=e-1=e，于是m

56、n，因此，m=n。性质10设群G中元素a的阶是m，b的阶是n,则当ab=ba且(m,n)=1时,

57、ab

58、=m。证明首先，由于

59、a

60、=m,

61、b

62、=n,ab=ba,则(ab)mn=(am)n(bn)m=e;其次,若有正整数s使得(ab)s=e,则(ab)sm=(am)sbsm=bsm=e,但

63、b

64、=n,则n

65、sm.又因为(m,n)=1,所以n

66、s.同理可得m

67、s,再根据(m,n)=1,故mn

68、s,从而

69、ab

70、=mn.说明值得注意的是:当元素a与b不

71、满足定理中的假设条件时,其乘积的阶会出现各种各样的情况,将无法根据a,b的阶来作出判断。第十一讲循环群、子群课时安排约2课时教学内容1．循环群的思想，理想在循环群结构中的主要的结果（i）数量总数，(ii)构造问题，（iii）循环群的生成元；2．子群包括的三层意思、子群的判定方法和构造群的子群的方法；3．循环群的阶与生成元的阶的关系；4．两类循环群的本质区别及各自的同构象；5．循环群中元素之间的联系和性质；6．子群的构成判断和彼此等价的判断条件；7．有限群的判断定理；8．子群（集）的乘积和生成子群的概念；9．循环群的子群所具有的特性。教学重点1．G=的

72、定义，利用G=(a)的定义，证明有关的定理和命题；2．子群定义，利