欢迎来到天天文库
浏览记录
ID：21264412
大小：708.50 KB
页数：40页
时间：2018-10-20
《第7讲 循环群和置换群》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、Lagrange定理Lagrange定理：
2、G
3、=
4、H
5、[G:H]证明：令G的不同的陪集为Ha1,Ha2,…,Har,
6、G
7、=
8、Ha1
9、+
10、Ha2
11、+…+
12、Har
13、=
14、H
15、r=
16、H
17、[G:H]2021/7/61Lagrange定理推论推论(1)群的元素的阶是群的阶的因子.证明：构造子群，
18、
19、=
20、a
21、.(2)素数阶群一定是交换群（实际上是循环群）.证明：
22、G
23、=p,p>1,存在非单位元a,
24、a
25、的阶是p的因子，只能是
26、a
27、=p.故G=.2021/7/62循环群定义10.7:设G是群，若在G中存在一个元素a,使得G中的任意元素都是a的幂，则称
28、该群为循环群，元素a为循环群G的生成元。记G=.2021/7/632021/7/64例10.14(1-3)(1)整数加群,1,-1都是生成元(2)模p整数加群除0外，每个元都是生成元(3)模n整数加群与n互素的元都是生成元生成元不唯一2021/7/642021/7/65例10.14(4-6)(4)n阶实矩阵加群(5)n阶实可逆矩阵乘法群；(6)集合A={1,2,3}上所有的双射函数关于映射复合构成群S3={f1,f2,f3,f4,f5,f6}，H1={f1,f2}H2={f1
29、,f5,f6}f1={<1,1>,<2,2>,<3,3>f2={<1,2>,<2,1>,<3,3>}f3={<1,3>,<2,2>,<3,1>}f4={<1,1>,<2,3>,<3,2>}f5={<1,2>,<2,3>,<3,1>}f6={<1,3>,<3,2>,<2,1>}2021/7/65循环群必是阿贝尔群性质:任何一个循环群必为阿贝尔群。证：设G为一个循环群，其生成元为a,则x,y∈G，必r,s∈Z,s.t.x=ar,y=as而且，x*y=ar*as=ar+s=as+r=as+ar=y*x因此，G为一阿贝尔群2021/7/66阶数有限群G的阶数—
30、—集合G的元素个数.群G的阶数记作
31、G
32、=n元素a的阶数——r是使ar=e成立的最小正整数,此时称r为元素a的阶.2021/7/67循环群分类生成元的阶无限，则G为无限循环群生成元a为n阶元，则G={e,a,a2,⋯,an−1}为n阶循环群，循环群的阶和生成元的阶相等。实例为无限循环群为n阶循环群2021/7/68循环群的生成元定理10.11G=是循环群(1)若G是无限循环群，则G的生成元是a和a−1;(2)若G是n阶循环群，则G有(n)个生成元，当n=1时G=的生成元为e；当n>1时,∀r(r∈Z+∧r33、G的生成元⇔(n,r)=1.2021/7/69Euler函数Eulerφ函数φ(n)：当n＝1时，φ(1)＝1；当n>1时，它的值φ(n)等于比n小而与n互素的正整数的个数。考虑群(Zn*,×)，Zn*是Zn中所有可逆元组成的集合，则34、Zn*35、=φ(n)2021/7/6102021/7/611例10.14(1-3)(1)整数加群,1,-1都是生成元(2)模p整数加群除0外，每个元都是生成元(3)模n整数加群与n互素的元都是生成元生成元不唯一2021/7/611证明思路：(1)证明a−1是生成元证明若存在生成元b，则b36、=a或a−1.(2)只需证明(r,n)=1,则ar是生成元反之，若ar是生成元，则(r,n)=1.2021/7/612证明2021/7/613循环群的子群定理10.12G=是循环群，那么(1)G的子群也是循环群(2)若G是无限阶，则G的子群除{e}外也是无限阶(3)若G是n阶的，则对于n的每个正因子d,在G中有且仅有一个d阶子群.2021/7/614证明思路：(1)子群H中最小正方幂元am为H的生成元(2)若子群H=有限，a≠e,则推出37、a38、有限.(3)是d阶子群，然后证明唯一性.2021/7/615证明2021/7/616证明(39、续)2021/7/617例10.16G=为r阶循环群，证明40、at41、=r/(t,r)证：令42、at43、=s,(t,r)=d⇒t=dp,r=dq⇒r/(t,r)=r/d=q只要证s=q(at)q=(at)r/d=(ar)t/d=ep=es44、q(at)s=e⇒ats=e⇒r45、ts⇒q46、psq47、s（p,q互素）2021/7/618实例(1),求生成元、子群.生成元为与12互质的数：1,5,7,1112的正因子为1,2,3,4,6,12，子群：<0>,<1>,<2>,<3>,<4>,<6>(2)G=为12阶群，求生成元和子群.生成元为a248、,a10,a14,a22G的子群：,,,
33、G的生成元⇔(n,r)=1.2021/7/69Euler函数Eulerφ函数φ(n)：当n＝1时，φ(1)＝1；当n>1时，它的值φ(n)等于比n小而与n互素的正整数的个数。考虑群(Zn*,×)，Zn*是Zn中所有可逆元组成的集合，则
34、Zn*
35、=φ(n)2021/7/6102021/7/611例10.14(1-3)(1)整数加群,1,-1都是生成元(2)模p整数加群除0外，每个元都是生成元(3)模n整数加群与n互素的元都是生成元生成元不唯一2021/7/611证明思路：(1)证明a−1是生成元证明若存在生成元b，则b
36、=a或a−1.(2)只需证明(r,n)=1,则ar是生成元反之，若ar是生成元，则(r,n)=1.2021/7/612证明2021/7/613循环群的子群定理10.12G=是循环群，那么(1)G的子群也是循环群(2)若G是无限阶，则G的子群除{e}外也是无限阶(3)若G是n阶的，则对于n的每个正因子d,在G中有且仅有一个d阶子群.2021/7/614证明思路：(1)子群H中最小正方幂元am为H的生成元(2)若子群H=有限，a≠e,则推出
37、a
38、有限.(3)是d阶子群，然后证明唯一性.2021/7/615证明2021/7/616证明(
39、续)2021/7/617例10.16G=为r阶循环群，证明
40、at
41、=r/(t,r)证：令
42、at
43、=s,(t,r)=d⇒t=dp,r=dq⇒r/(t,r)=r/d=q只要证s=q(at)q=(at)r/d=(ar)t/d=ep=es
44、q(at)s=e⇒ats=e⇒r
45、ts⇒q
46、psq
47、s（p,q互素）2021/7/618实例(1),求生成元、子群.生成元为与12互质的数：1,5,7,1112的正因子为1,2,3,4,6,12，子群：<0>,<1>,<2>,<3>,<4>,<6>(2)G=为12阶群，求生成元和子群.生成元为a2
48、,a10,a14,a22G的子群：,,,
此文档下载收益归作者所有
