拉格朗日(Lagrange)中值定理.pdf

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1、拉格朗日（Lagrange）中值定理教学目的：1.熟练掌握中值定理及其几何意义2.能应用拉格朗日中值定理证明不等式3.了解拉格朗日中值定理的推论1和推论2教学重点：1.拉格朗日中值定理，拉格朗日中值定理的应用2.拉格朗日中值定理证明中辅助函数的引入。3.利用导数证明不等式的技巧。教学难点：辅助函数的引入和中值定理的应用技巧教学内容：1．罗尔定理的回顾与拉格朗日中值定理的引入我们简单回顾一下罗尔定理的内容：若函数f(x)满足下列条件：①在闭区间[a,b]连续；②在开区间(a,b)可导；③f(a)=f(b)'则在(a,b)内至少存在一点ξ，使得f()0ξ=yy=f(x)CMBNAOaξxbx图1

2、图2罗尔定理的几何意义大家都清楚了如图1，现在我们把坐标系统绕原点在平面内的旋转α角，使在新坐标系如图2，大家看看有什么不同？2．拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理如果函数f(x)满足（1）在闭区间[a,b]上连续,（2）在开区间(a,b)内可导,那么在(a,b)'内至少有一点ξ(a<ξ

3、意义我们从几何的角度看一个问题，如下：设连续函数yfx=()，a与b是它定义区间内的两点（a

4、理上来，为此需要构造一个辅助函数ϕ(x)，使它满足罗尔定理的条件。由前述分析，我们知道图2是在图1的基础上绕点A旋转了α角得到的，现进行逆变换，即将图2曲线f()x减去铅直量()xa−tanα得到图1的曲线，而f()bfa−()tanα=。作辅助函数ba−fbfa()−()ϕ()x=−fx()(xa−)，注意ϕ(x)满足罗尔定理的三个条件。ba−fbfa()−()证明：作辅助函数ϕ()x=−fx()(xa−)，易知ϕ(x)在闭区间[a,b]连续，ba−在开区间(a,b)可导，又ϕ(a)=ϕ(b)，根据罗尔定理，ϕ(x)在(a,b)内至少存在一点ξ，'''f(b)−f(a)''fb()−fa(

5、)使得ϕξ()0=，而ϕ(x)=f(x)−，于是ϕξ()=f()ξ−=0，b−aba−'f()bf−(a)即f()ξ=，命题得证。ba−注1°罗尔定理是拉格朗日中值定理f(a)=f(b)时的特例注2°几何意义：在满足拉格朗日中值定理条件的曲线y=f(x)上至少存在一点Cf(,())ξξ，该曲线在该点处的切线平行于曲线两端点的连线AB。我们在证明中引入的辅助函数ϕ()x，正是曲线y=f(x)与铅直量()xa−tanα之差，事实上，这个辅助函数的引入相当于图形绕点A在平面内的旋转，使在新坐标系下，线段AB平行于新x轴（ϕ()a=ϕ()b）。本定理的证明提供了一个用构造函数法证明数学命题的精彩典范

6、，同时通过巧妙地数学变换，将一般化为特殊，将复杂问题化为简单问题的论证思想，也是高等数学中的重要而常用的数学思维的体现。注3°拉格朗日中值定理的中值点ξ是开区间(a,b)内的某一点，而非区间内的任意点或指定一点。换言之，这个中值定理都仅“定性”地指出了中值点ξ的存在性，而非“定量”地指明ξ的具体数值。注4°拉格朗日中值定理的结论常称为拉格朗日公式，该公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系。当设f(x)在[a,b]上连续，在(,ab)内可导时，若x,(xx+Δ∈a,b)，00则有f(x+Δx)−f(x)=f′(x+θΔx)⋅Δx0(<θ<)1；当yf=(x

7、)时，也可写成000Δ=yfx′()+Δθxx⋅Δ，(0<<θ1)，试与微分dy=f′(x)⋅Δx比较：即微分dy=f′(x)⋅Δx0是函数增量Δy的近似表达式，而Δy=f′(x+θΔx)⋅Δx0(<θ<)1是函数增量Δy的0精确表达式。所以拉格朗日中值公式又称为有限增量公式，拉格朗日中值定理又称有限增量定理。它有几种常用的等价形式，可根据不同问题的特点，在不同场合灵活采用：f(b)−f(a)=f′(ξ)(b