论微分中值罗尔定理及其应用

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1、论微分中值罗尔定理及其应用摘要：罗尔定理在数学分析中也有着非常广泛的应用.本文通过罗尔定理在微分中值定理和数学分析中的作用和地位，来分析和研究罗尔定理的内容，几何意义和应用.通过对罗尔定理的推广和应用，重点研究了用罗尔定理解决关于导函数零点存在性和证明微分中值公式的问题.关键词：罗尔定理；柯西中值；代数方程式1.罗尔定理罗尔是法国数学家。罗尔在数学上的成就主要是在代数方面，专长于丢番图方程的研究。罗尔于1691年在题为《任意次方程的一个解法的证明》的论文中指出了：在多项式方程的两个相邻的实根之间，方程至

2、少有一个根。在一百多年后，1846年尤斯托(GiustoBellavitis)将这一定理推广到可微函数，尤斯托还把此定理命名为罗尔定理。罗尔定理如下：如果函数f(x)满足：在闭区间［a，b］上连续；在开区间(a,b)内可导；在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b),那么在(a,b)内至少有一点4(aO,则存在4e(a,b），使f"（^）=f（之）.证明不妨设f'(a)〉0，r(b)〉0，则f(x)在x=a与x=b处单调递增.考虑到f(a)=f(b)=0,所以，xl,x2E(a，b)，使f(xl)>

3、0,f(x2)>0，从而，cG(a，b)使f(c)=0.令g(x)=e~xf(x)，则g(a)=g(c)=g(b)=0.由罗尔定理知ie(a,c),^2e(c,b),使得g'(之1)=0=巨'(之2)，即e-41fz⑴)-f(4l)=0=e-42f,(42)-f(42)，亦即f'⑴)-f⑴)=0=f'U2)-f(42)•再令(x)=exfz(x)-f(x)，则4)U1)二0二d)U2)•再用罗尔定理，则e(U,42)(a，b)，使得巾'⑴=0，即e€f〃⑴-f(€)=0，即f〃⑴=f⑴.综上，便得

4、证.2.2用罗尔定理证明中值公式要点：构造不同的辅助函数，应用罗尔定理可以导出不同的中值公式.例2设f(x),g(x)，h(x)在［a，b］上连续，在(a，b)内可导.试证：必存在4e(a,b)，使得f(a)g(a)h(a)f(b)g(b)h(b)fz⑴g'(^)hz(之)二0.证明作辅助函数F(x)=f(a)g(a)h(a)f(b)g(b)h(b)f(x)g(x)h(x)，则F(x)在［a，b］上连续，在(a,b)内可导，且F(a)二F(b)=0.应用罗尔定理可知，e(a,b),使得Fz⑴=0，由行列

5、式性质得，F"⑴=0.即结论成立.注(1)令h(x)=1,即可推出柯西中值定理.(2)令g(x)三x，h(x)^1,即可推出拉格朗日中值定理.证明如下：(1)令h(x)=1，则Ff(€)=f(a)g(a)1f(b)g(b)1f'⑴g"⑴0=0，即f(b)-f(a)g(b)-g(a)=f'(€)g'(€)•此即得柯西中值定理.(2)令g(x)=x，h(x)=1,则可知，Ff(^)=f(a)alf(b)blfz⑴10，即f’(^)=f(b)-f(a)b~a.此即得拉格朗日中值定理.3.结论本文主要介绍罗尔定

6、理、以及罗尔定理的推广和在几种不同情况下的应用。并通过分析法、反证法、构造辅助函数法等方法对罗尔定理的正确性、导函数中零点的存在性、罗尔定理在不同区间（有限和无限）下的应用以及它在导函数中的应用等问题进行了验证。本文根据这一定理的条件和结论，提出了一系列扩展思路、独立思考、试探解决的问题，达到了培养能力，牢固掌握基本理论的目的。（作者单位：周口师范学院）参考文献：[1]包礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].高等教育出版社，2008.[2]李玉琏，数学分析讲义[M].高等教育出版社，2000.[3]孙

7、清华，数学分析内容方法与技巧[M].华中科技大学出版社，2010.[4]王承国，数学分析学习指导[M].科学出版社，2010.