矩阵理论试题.pdf

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1、1、在3维实系数多项式线性空间P2[x]上定义如下变换T：P2[x]→P2[x]2dd2Px()Px()Px()→T=−+(1xx)++(1x)−Px()Px()2dxdx2并取B={x,x,1}为P2[x]的一组基。(1)试证明T是一个线性变换；(2)试说明TB={Tx2,Tx,T1}的线性相关性；(3)求出线性变换T关于基B的矩阵表示；(4)求出线性变换T的特征值与特征向量。解：(1)要证明T是线性变换，∀p(x),q(x)∈P2(x)，22dpxqx(()())++dpxqx(()())T=−+(1xx)

2、++(1x)−(()pxqx+())(()())pxqx+2dxdx22dpx()dpx()=(1−+xx)++(1x)−px()2dxdx22dqx()dqx()+−+(1xx)++(1x)−qx()=Tpx()+Tqx()2dxdx2dd2(kpx())(kpx())∀p(x)∈P2(x)，T=−+(1xx)++(1x)−(kpx())(kpx())2dxdx=kT所以T是线性变换px()222(2)T2=−+(1xx)*2++(1xxx)*2−=+3x2x2T=−+(1xx)*0++(1x)*1−=x1x

3、2T=−+(1xx)*0++(1x)*01−=−112对于任意kkkkx,,,(3++2)k*1+k*(1)−=0得12312330k=2132kx1++−=kk123k0，则有无穷解，所以说TB={Tx2,Tx,T1}20kkk+−=123是线性相关的。300222(3)TB=BA,Txx(,,1)=(3x+−=2,1,1)(xx,,1)000211−300(4)线性变换T在基B下对应的矩阵为A=000,于是211−λ−300det(λEA−=)det0λ

4、0=+−λλ(1)(λ3)−−+211λTTT所以T的特征值为0，-1，3，对应的特征向量为(0,1,1),(0,0,1),(2,0,1)T1T1T32、设{e1=(100),e2=(-221),e3=(111)}为R的一组基。33(1)将上述基标准正交化；33(2)求一个镜面反射矩阵，H：R→R,它使He2为平面2x1+x2+2x3–1=0的单位法向量；(3)写出构造镜面反射矩阵H的matlab函数。00121−解：(1)rr10,2==,3r=

5、55012551T(2)平面2x1+x2+2x3–1=0的单位法向量为y2=(2,1,2)，则镜面的法向量31T1TTu为u=e2-y2=(4,1,1)−−,单位化得w=(4,1,1)−−，则H=In-ww，332−−−7440.77780.4444−0.44441则H为481=0.44440.88890.11119−−4180.44440.11110.8889(3)functionH=householder(x,y)%x,y为两个

6、列向量x1=x/norm(x);y1=y/norm(y);u=(x1-y1)./norm(x1-y1);H=eye(length(u))-2*u*u';1T%这里x为e2，y为(2,1,2)3223、已知B1={2,t+1,t–1}和B2={1,2t–1,t+t-1}是P2[t],t∈[-1,1]的两组1基，且对于∀p(t),q(t)∈P2[t],定义内积：((),())ptqt=∫ptqtdt()().−1(1)求B1到B2的过渡矩阵；(2)写出基B1的度量矩阵；(3)求函数f(t)=exp(-t)在P2[t

7、]，t∈[-1,1]的最佳平方逼近多项式ϕ(t).00100122解：(1)B1=(1,,tt)021，B2=(1,,tt)010，设过度矩阵为A，111−−211−−10010010.5−−1.50.5则B2=B1A，所以A=010*021=021211111001−−−(2)B1的度量矩阵G为2(2,2)(2,tt+−1)(2,1)2(t+1,2)(tt++1,1)(tt+−1,1)(t2−1

8、,2)(tttt2−+1,1)(22−−1,1)1112∫∫4dt2*(t+−1)dt∫2*(t1)dt−−11−111122=∫∫∫2*(t+1)dt(t++2t1)dt(t+1)*(t−1)dt−−11−11112222∫∫2*(t−1)dt(t+−1)*(t1)dt∫(t−−1)*(t1)dt−−11−1−884310−4=43