矩阵理论ppt.pdf

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1、矩阵的特征值在理论上和实际应用中都是十分重要的，但是特征值的计算一般是非常麻烦的，尤其当矩阵的阶数比较高时，要精确计算出矩阵的特征值是相当困难的，因此，由矩阵元素的简单关系式估计出特征值的范围就显得尤为重要．本节将主要给出特征值的估计与圆盘定理，以及谱半径的估计．特殊矩阵的特征值：实对称矩阵（厄米特矩阵）：特征值在实轴上幂等矩阵：特征值为0或1正交矩阵（酉矩阵）：特征值位于单位圆上4.5特征值的估计一.特征值的界nn定理：设A()aijC的特征值为1,,n，则nlmaxaAij(1)1jni1nlmax

2、aij(A)(l1,2,,)n1inj1nn22laij(Schur)l1ij,1证明由舒尔定理，存在酉矩阵U使得HUAUT．其中T为上三角矩阵，T的对角线元素t(i1,2,,n)为A的特征ii值，于是nnn22222

3、i

4、

5、tii

6、

7、tii

8、

9、tij

10、TF．i1i1i1ij由于在酉相似下矩阵的F范数不变，所以n222

11、i

12、TFAF．i1结论中等号成立当且仅当2

13、tij

14、0．ij即T为对角阵，因此结论中等号成立当且仅当A酉相似于对角阵，即A为正规矩阵．3

15、i23i2i例已知矩阵A100010的一个特征值是2，估计另外两个特征值的上界.2解因为A425,所以2,35.F二.特征值的包含区域nn定义设A(aij)C,称由不等式zaRiii在复平面上确定的区域为矩阵A的第i个Gerschgorin圆（盖尔圆），并用记号Gi来表n示.其中RiRi(A)aij称为盖尔圆Gi的j1ji半径(i1,,n).nn定理（圆盘定理1）设A(a)C，则A的一切特ij征值都在它的n个盖尔圆的并集之内，即A的任一特征值满足nSS．ii

16、1证明设为A的特征值，其对应的特征向量为x(x0)，即Axx，写成分量形式为naijxjxi，（i1,2,,n）j1或n(aii)xiaijxj．（i1,2,,n）j1ji设x为x的各分量中模最大的一个，则x0，在上式中当it时tt有n(att)xtatjxj，j1jt两边除以x并取模得tnxnj

17、att

18、

19、atj

20、

21、atj

22、Rt，j1xtj1jtjtn所以S，即SS．tii1例估计矩阵10.10.20.30.530.10.2A

23、10.310.50.20.30.14的特征值的范围.解A的4个盖尔圆为z10.6,z30.8z11.8,z40.6在复平面的图：那么，A的全部特征值就在这四个盖尔圆并起来的区域之中.连通区域：区域中的任意两点都可以用位于该区域内的一条折线连接起来的区域.连通部分：交结为一起的盖尔圆所构成的最大连通区域.定理（圆盘定理2）在矩阵A所有盖尔圆组成的任一连通部分中，含有A的特征值的个数等于该连通部分的盖尔圆的个数.由圆盘定理2可知，由一个盖尔圆组成的连通部分有且仅有一个特征值，由两个盖尔圆组成的连通部

24、分有且仅有两个特征值，但可能这两个特征值都落在一个圆盘中，而另一个圆盘中没有特征值．10.82例矩阵A的特征方程为0.40，所以0.50A的特征值为10.6i10.6i，．1222A的两个盖尔圆为

25、z1

26、0.8，

27、z

28、0.5．由于

29、

30、

31、

32、0.40.630.5．12所以这两个特征值都不落在圆盘

33、z

34、0.5内．推论1设n阶矩阵A的n个盖尔圆两两互不相交（都是孤立的），则A相似于对角矩阵．推论2设n阶实矩阵A的n个盖尔圆两两互不相交，则A的特征值全为实数．证明因为A为实矩阵，

35、所以A的n个盖尔圆都关于实轴对称．又由这n个盖尔圆两两互不相交知，A的n个特征值互不相等，且每个盖尔圆内恰含有一个特征值．因为，如果实矩阵有复特征值，则一定成对出现，且在复平面上关于实轴对称，所以若有一个复特征值在某个盖尔圆内，则与其成共轭的特征值也一定在该盖尔圆内，这与圆盘定理2的结论相矛盾，所以A的特征值都是实数．例证明n阶矩阵2112nnn1114Annn1112nnnn能与对角矩阵相似，且A的特征值都是实数．证明A的n个盖尔圆为S：

36、z2

37、1，1n1S：

38、z2k

39、．

40、(k2,3,,n)kn它们两两互不相交，又因为A为实矩阵，所以由推论2知A的特征值都是实数．nn定义设A(a)C，则称圆盘ijS{z

41、za

42、R,zC}jjjj为矩阵A在复平面上的第j个列盖尔圆（j1,2,,n），其中nR