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《正弦定理、余弦定理的应用.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、例谈正弦定理、余弦定理的应用正弦定理与余弦定理作为解三角形的基本工具，在测量、机械设计、航海和物理学等方面有着广泛的应用.例1已知A、B、C是一条直路上的三点，AB与BC各等于1km,从三点分别遥望塔M,在A处见塔在东北方向，在点B处见塔在正东方向，在点C处见塔在南偏东600处，求塔到直路ABC的最短距离.解由条件知/CMB=30o,/AMB=45o,设/CBM则/ABM=兀-a.在ACBM和AABM中，由正弦定理得MC_1MAsina=sin30o科sin（n-a）=sin45o'消去sina得MC=&MA.在AAMC中，由余弦定理得
2、4=MC2+MA2—2MC•MAcos75o=3MA2—272MA2cos75°,所以MA2=3-2V2cos75°,设M到直线ABC的最小距离为h,h即为AAMC的AC边上的高，则面积关系得11oS型mc=2AC-h=2MC•MA•sin75.一工4sin75o7+5.3八、从上式可以求得塔与路的最短距离h=2.3-2J2cos75o=13(km),点评本题解答的关键在于用正弦定理求出MA与MC的关系，进而在确定MA的大小.例2渡轮以15km/h的速度沿与水流方向成120o角的方向行驶，水的流速为4km/h,求渡轮实际行驶的速度（精确
3、到0.1km/h）和方向（精确到1°）.解如图，AB表示水流速度，AD表示渡轮行驶速度,以AD,AB为邻边作平行四边形ABCD,则AC就是渡轮实际速度.在平行四边形ABCD中，CD=AB=4,BC=AD=15,/BAD=120o,/B=60o,所以AC2=AB2+BC2-2AB-BC•cos60o=42+152-2x4x15x1=181,所以AC=13.45=13.5(km/h).=0.2576../八AB•sinB4sin60osin/ACB=—Ac—=13.45因为所以所以AC>AB,/ACB=14056./BAC=180°—(/B
4、+/ACB)=105°4=105°.答渡轮实际行驶的速度约为13.5km/h,实际行驶方向与水流方向约成105°.点评：根据平行四边形法则作图，从而构造数学模型，集中了实际问题中的条件与目标，将实际问题转化为求解三角形问题.先由余弦定理确定AC的长,再用正弦定理求出/ACB,最后过渡到/BAC.例3海岛B上有一座海拔1000m的山，山顶A处设有观察站，上午11时测得一轮船在海岛北60°东处，俯角30°;11时10分又测得该轮船在海岛北60°西处，俯角60°,问：(1)此船的速度是多少km/h?(2)如果船的航向和速度不变，它何时到达岛的
5、正西方？东解：如图，AB=1000km,/BAC=60°,/BAD=3在Rt^ABD中，解得BC=J3km.BD==km,在^BDC中，/DBC=120°,根据余弦定理得1■,'39391—CD=km,所以，船速v=*—=2*；39(km/h).336(2)设船沿CD从D处经时间t后到达岛的正西方E处，在^BDC中，由正弦定sin/CED=sin(/BDC-300)=1理得sin/BDC=^^,cos/BDC=5吧,2.392、39.在ABDE中，据正弦定理得DE=等km,所以t=_l(h),即船于11时15分到达岛的正西方.运用正弦定
6、理和余弦定理解决实际问题，关键是根据题意构造适当的三角形.如果知道两边和夹角，则可先由余弦定理求出角的对边，再由正弦定理求出另外两个角.如果已知两边及其中一边的对角，则先由正弦定理求出另一条边的对角，再求三角形的内角和为1800求出第三个角，最后用正弦定理可以求出第三条边(当然也可用余弦定理求解，但正弦定理更为直接).上述求解过程说明，求解三角形，一定要注意已知什么？由已知可以求得什么？目标是什么？要求出目标值需要知道什么？搞清楚这些问题后，就可以确定求解的“序”了.另外，在运用正弦定理、余弦定理的同时，还应该结合面积关系灵活选择解决途
7、径.如果建立适当的直角坐标系，与解析法有机结合，或运用向量的有关性质，可能带来更为简便的求解方案，应予重视.
