正弦定理和余弦定理的应用

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1、第二节应用举例题型一测量距离问题ABC【母题★★★】如图所示，设、两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在的同侧，在所在的河岸边选定一点，测出的距离是m,,.求、两点间的距离（精确到m）.分析所求的边的对角是已知的，又已知三角形的一边，根据三角形内角和定理可计算出的对角，根据正弦定理，可以计算出边.解答根据正弦定理，得(m)点拨本题是测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决。解题锦囊本题型的解题关键在于明确：（1）测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决。

2、（2）测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题。衍生题衍生1★★如图所示，客轮以速度由至再到匀速航行，货轮从的中点出发，以速度沿直线匀速航行，将货物送达客轮，已知，且海里。若两船同时启航出发，则两船相遇之处距点海里。（结果精确到小数点后1位）ABCDABCDE解析两船相遇点在上，可设为，设，则故得，∴答案点拨本题考查了测量距离问题。衍生2★★★如图所示，两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量两点间距离的方法。ABCDAAA分析可以

3、先计算出河的这一岸的一点到对岸两点的距离，再测出的大小，借助余弦定理可以计算出两点间距离。解答法一：测量者可以在河岸边选定两点、，测得并且在、两点分别测得在和中，应用正弦定理得计算出和后，再在中，应用余弦定理计算出两点间的距离。法二：本题也可以在河的这一岸选定、，测出取中点,因此要求,构造,需要求出、及所以要测出再分别在、中用余弦定理就可求出、求解过程如下：在中，在中，在中，点拨求解三角形中的基本元素，应由确定三角形的条件个数，选择合适的三角形求解，如本题法一选择的是和.衍生3★★★如图，隔河看两目标、，但不能到达，在岸边选取相距千米的两点，并测得ABBCD(、、、在同一

4、平面内)求两目标、之间的距离。分析要求出、之间的距离,可在(或中去找关系,但不管在哪个三角形中,、这些量都是未知的,需要在三角形中找出合适的关系,求出它们的值,剩下的只需解三角形了。解答在中，在中，由正弦定理，可得由余弦定理，可得（千米），即两目标、之间的距离为千米。点拨若首先解求出,再求,最后解,则其计算量就比上述解法要大，因此当问题有多种解决途径时，我们应该用价值的观念来审视每种解法，从而探索到最优解法。在中，若已知两角及任一边，一般用正弦定理求解，但要注意实际问题是否为一些特殊三角形，如正三角形、直角三角形、等腰三角形等.题型二测量高度问题【母题★★★★】如果要测量

5、某铁塔的高度，但不能到达铁塔的底部，在只能使用简单的测量工具的前提下，你能设计出哪些测量方法？并提供每种方法的计算公式。分析要测量铁塔的高度，只能在铁塔底部所在的平面上选取两点，量出两点间的距离，再测量有关角，从而构造三角形求解。解答测量方法1、如右图所示，BAOAAP在地面上引一条基线,这条基线和塔底在同一水平面上，且不过点，测出的长，及对塔顶的仰角，则可求出铁塔的高。在中，，在中，，在中，由余弦定理得，测量方法2、AOBP在地面上引一条基线,这条基线和塔底在同一水平面上，并使三点在一条直线上，测出的长和对塔顶的仰角，则可求出铁塔的高。计算方法如下：如右图所示，在中，由

6、正弦定理得，在中，，测量方法3、APOBAPOB在地面上引一条基线,这条基线和塔底在同一水平面上，且延长后不过塔底，测出的长，用经纬仪测出角和对塔顶的仰角的大小，则可求出铁塔的高。计算方法如下：如右图所示，在中，由正弦定理得在中，点拨本题是个开放性的题目，灵活构造三角形解题是一大特点。解题锦囊本题型的解题思路：（1）测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题。（2）对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究

7、的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可。衍生题衍生1★★如图，是水平面上的两个点，相距800m,在点测得山顶的仰角为，,又在点测得，其中是点在水平面上的垂足，则山高为.（精确到1m）ABCD2501100400解析在中，,由正弦定理，得（m）在中,(m)山高约为480（m）.答案480点拨测量高度问题常利用解一个直角三角形和一个斜三角形来解决，解斜三角形一般用正弦定理。衍生2★★★某人在塔的正东沿着南偏西的方向前进m后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为，