正弦定理、余弦定理的应用

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1、正弦定理、余弦定理的应用113正弦定理、余弦定理的应用教学目的：1进一步熟悉正、余弦定理内容；2能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化；3能够利用正、余弦定理判断三角形的形状；4能够利用正、余弦定理证明三角形中的三角恒等式教学重点：利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向教学难点:三角函数公式变形与正、余弦定理的联系教学方法：启发引导式1启发学生在证明三角形问题或者三角恒等式时，要注意正弦定理、余弦定理的适用题型与所证结论的联系，并注意特殊正、余弦关系的应用，比如互补角的正弦值相等，互补角的余弦值互为相反数

2、等；2引导学生总结三角恒等式的证明或者三角形形状的判断，重在发挥正、余弦定理的边角互换作用教学过程：一、复习引入：正弦定理：余弦定理：，二、讲解范例：例1在任一△AB中求证：证：左边===0=右边例2在△AB中，已知，，B=4求A、及解一：由正弦定理得：∵B=4<90即b<a∴A=60或120当A=60时=7当A=120时=1解二：设=x由余弦定理将已知条代入，整理：

3、解之：当时从而A=60，=7当时同理可求得：A=120，=1例3在△AB中，B=a,A=b,a,b是方程的两个根，且2s(A+B)=1求（1）角的度数（2）AB的长度（3）△AB的面积解：（1）s=s[ɤ᠄(A+B)]=᠄s(A+B)=᠄∴=120（2）由题设：∴AB2=A2+B2᠄2A•B•s即AB=（3）S△AB=例4如图，在四边形ABD中，已知ADɥ

4、4;D,AD=10,AB=14,BDA=60,BD=13求B的长解：在△ABD中，设BD=x则即整理得：解之：（舍去）由余弦定理：∴例△AB中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角，1求最大角;2求以此最大角为内角，夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积解：1设三边且∵为钝角∴解得∵∴或3但时不能构成三角形应舍去当时2设夹角的两边为S当时S最大=例6在△AB中，AB＝，A＝3，D为B中点，且AD

5、＝4，求B边长分析：此题所给题设条只有边长，应考虑在假设B为ｘ后，建立关于ｘ的方程而正弦定理涉及到两个角，故不可用此时应注意余弦定理在建立方程时所发挥的作用因为D为B中点，所以BD、D可表示为，然用利用互补角的余弦互为相反数这一性质建立方程解：设B边为ｘ，则由D为B中点，可得BD＝D＝，在△ADB中，sADB＝在△AD中，sAD＝又∠ADB＋∠AD＝180°∴sADB＝s（180°－∠AD）＝－sAD∴解得，ｘ＝2,所以，B边长为2评述：此题要启发学生注意余弦定理建立方程的功能，体会互补角的余弦值互为相反数这一性质的

6、应用，并注意总结这一性质的适用题型另外，对于本节的例2，也可考虑上述性质的应用求解sinA，思路如下：由三角形内角平分线性质可得，设BD＝ｋ，D＝3ｋ，则由互补角∠AD、∠ADB的余弦值互为相反数建立方程，求出B后，再结合余弦定理求出sA，再由同角平方关系求出sinA三、堂练习：1半径为1的圆内接三角形的面积为0．2，求此三角形三边长的乘积解：设△AB三边为a，b，则Ｓ△AB＝∴又，其中R为三角形外接圆半径∴,∴ab＝4RS△AB＝4×1×0．2＝1所以三角形三边长的乘积为1评述：由于题设条有三角形外接圆半径，故联想

7、正弦定理：，其中R为三角形外接圆半径，与含有正弦的三角形面积公式Ｓ△AB＝发生联系，对ab进行整体求解2在△AB中，已知角B＝4°，D是B边上一点，AD＝，A＝7，D＝3，求AB解：在△AD中，s＝又0＜＜180°，∴sin＝在△AB中，∴AB＝评述：此题在求解过程中，先用余弦定理求角，再用正弦定理求边，要求学生注意正、余弦定理的综合运用3在△AB中，已知sA＝，sinB＝，求s的值解：∵sA＝＜＝s4°，0＜A＜π∴4°＜A＜90°,∴sinA＝∵sinB＝＜＝sin30°，0＜B＜π∴0°＜B＜30°或10°＜B＜

8、180°若B＞10°，则B＋A＞180°与题意不符∴0°＜B＜30°sB＝∴s（A＋B）＝sA•sB－sinA•sinB＝又＝180°－（A＋B）∴s＝s［180°－（A＋B）］＝－s（A＋B）＝－评述：此题要求学生在利用同角的正、余弦平方关系时，应根据已知的三角函数值具体确定