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1、2017年全国高中数学联合竞赛一试和加试（A卷）试题及答案考点分析2017年全国高中数学联合竞赛一试（A卷）参考答案及评分标准说明F1.泮阅试卷时.请依据本评分标魅.填空题只地8分和。分两档*其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2・如果考生的解答方法和本解答不同.只要思路合理，步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答期中第9小题】分为一个档次，第1仇11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次.一、填空题:本大题共X小题，每小题*分，共64分.L设/（幻是定义隹R上的函数，对任意实数工有/住+分/。-4）=-1,又当0工了＜7时,八幻=lo
2、g式9-耳）.则八一100）的值为.解：由条件知./u+14）=!一=f（x）.所以.〃工+7）/(-I»0>=/(-1OD+I4x7>=f(-2)=九着实数My满足/十2cosy=1.则n-cosy的取值范围是.答案，[-1,a+小解，由于一一1-2B5yW[—1-讣故*E[—瓜,5卜由8富,=1j可知,X-COSy=x—+l）：1.因此当工=-I时,x-COST有最小值—IC这时V可以取；h当X="时'T—CQiF有最大值E卜।《这时"可以取打工由于!（工+1-—I的伯域是[-1,/4小从而M—”3,的取值稚围是[-L75+1].3.在平面直角坐标系#Qy中।椭圆D的方程为尹言=1,F为匚
3、的上焦点,/为。的右顶点.尸是。上位于第象限内的动点.则四边形51〃产的面积的最大值为,答案：手，解！易知0）,广（0,D*设尸的坐标是6W0,E.则213TTosin0t-—■1-3cos/?223折= (V10cosft+sin=2_J_Lsin(fl+*22其中r—arctan.当。-arctinJT^时.四边形Qf产尸面积的最大侑为1023.若一个三位数中任意两个相邻数码的差均不超过1,则称其为“平稳数二平稳数的个数是.答案：75._解：考虑平稳数次.若6=0,则a=l,。€{0,1},有2个平稳数.若b=l,则。W{l,2},cW{0J2},有2x3=6个平稳数.若24叱8,则4c€
4、抄一1,“b+1},有7x3x3=63个平稳数.若6=9,则a,cw{8,9},有2x2=4个平稳数.综上可知，平稳数的个数是2+6+63+4=75.4.正三棱锥尸-{8c中，=AP=2,过力6的平面q将其体积平分，则棱QC与平面a所成角的余弦值为.答案：堂.10解:设48,PC的中点分别为K,则易证平而43必就是平面由中线长公式知AM'=：(力〃+AC-)-^PCZ=1(22+1!)-^x224所以KM=>JAM2-AK24僦+MC2-KC?2KMMC乂易知直线PC在平面a上的射影是直线MK,而CM=I.KC=¥，所以cosZALV/C一故棱PC与平面a所成角的余弦值为党3.在平面直角坐标系
5、中，点集K={（x,y）
6、i,y=-在K中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为右的概率为答案：:解：易知K中有9个点，故在K中随机取出三个点的方式数为C；=84种.将K中的点按右图标记为4,4,…，4,。，其中有8对点之间的距离为石.由对称性，考虑取4,4两点的情况，则剩下的一个点有7种取法，这样有7x8=56个三点组（不计每组中三点的次序）.对每个4"=L2,…,8）,K中恰有4中4+5两点与之距离为石（这里下标按模8理解），因而恰有（4,4.3,4+§}（，=1，2,…,8）这8个三点组被计了两次.从而满足条件的三点组个数为56-8=48,进而所求概率为竺=上84743.在A48C
7、中，也是边8C的中点，N是线段8M的中点.若//二二,3△ABC的面积为由,则布•京的最小值为.答案：m-L解：由条件知，病=4茄+就)，^A?=-Jfl+-JC.故2、)44AM-AN=—ASAC；同=；,可+画，+4茄画.4由于网.”=乎•两网，所以网，q=4,进一步可得“•就=1码y4cos/=2，从而~AM'AN>^2,3伊•伺2就+4而就44邛可补萍.就_瓜+1.当网=杀回=2义石时，而.莉的最小值为6+1.n34.设两个严格递增的正整数数列｛4｝,｛幻满足：砥=狐<2017,对任意正整数〃，有4h="i+。八"z=2〃，则囚+4的所有可能值为答案：13,20.解：由条件可知：％,七
8、,々均为正整数，且4VH.由于2017>%=2、6=5124,故々W｛1.2,3｝.反复运用｛4｝的递推关系知4。=4+4=24+%=3%+2"=54+34=8%45%=13。4+8%=2ax+13%=34%+21q,因此21q三go="o=5124=26l(mo
