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时间:2019-11-03
《2017年全国高中数学联合竞赛加试(A卷)答案》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、[键入文字][键入文字][键入文字]说明:2017年全国高中数学联合竞赛加试(A卷)参考答案及评分标准[键入文字][键入文字][键入文字]1.评阅试卷时,请严格按照本评分标准的评分档次给分.2.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分,10分为一个档次,不得增加其他中间档次.一、(本题满分40分)如图,在DABC中,AB=AC,I为DABC的内心.以A为圆心,AB为半径作圆G1,以I为圆心,IB为半径作圆G2,过点B、I的圆AIBPCQRG3与G1、G2分别交于点P、Q(不同于点B).
2、设IP与BQ交于点R.证明:BR^CR.(答题时请将图画在答卷纸上)证明:连接IB,IC,IQ,PB,PC.由于点Q在圆G2上,故IB=IQ,所以ÐIBQ=ÐIQB.又B,I,P,Q四点共圆,所以ÐIQB=ÐIPB,于是ÐIBQ=ÐIPB,故DIBP∽DIRB,从而有ÐIRB=ÐIBP,且IB=IP.…………………10分IRIB注意到AB=AC,且I为DABC的内心,故IB=IC,所以IC=IP,IRIC于是DICP∽DIRC,故ÐIRC=ÐICP.…………………20分又点P在圆G的弧BC上,故ÐBPC=180o-1ÐA,因此12ÐBRC=Ð
3、IRB+ÐIRC=ÐIBP+ÐICP=360o-ÐBIC-ÐBPC=360o-æ90o+1ÐAö-æ180o-1ÐAöç2÷ç2÷èøèø=90o,故BR^CR.…………………40分[键入文字][键入文字][键入文字]二、(本题满分40分)设数列{an}定义为a1=1,[键入文字][键入文字][键入文字]a=ìan+n,若an£n,n=1,2,L.[键入文字][键入文字][键入文字]n+1ía-n,若a>n,înn2017求满足ar4、t=1,L,r-1,有[键入文字][键入文字][键入文字]ar+2t-1=2r+t-1>r+2t-1,对t归纳证明.ar+2t=r-tr+1,[键入文字][键入文字][键入文字]ar+2=ar+1-(r+1)=2r-(r+1)=r-1r+2t+1,ar+2t+2=ar+2t+1-(r+2t5、+1)=2r+t-(r+2t+1)=r-t-16、2017中满足a=r的数r[键入文字][键入文字][键入文字]2018222019r[键入文字][键入文字][键入文字]共有2018个,为r1,r2,L,r2018.…………………30分由①可知,对每个k=1,2,L,2017中恰有一半满足[键入文字][键入文字][键入文字]arr,偶数均满足ar7、入文字][键入文字][键入文字]1(3201720173-2019--=20181).…………………40分[键入文字][键入文字][键入文字]22三、(本题满分50分)将33´33方格纸中每个小方格染三种颜色之一,使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻两个小方格的颜色不同,则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值.解:记分隔边的条数为L.首先,将方格纸按如图分成三个区域,分别染成三种颜色,粗线上均为分隔边,此时共有56条分隔边,即L=56.…………10分[键入文字][键入文字][键入文字]1617171611111133下面证明8、L³56.将方格纸的行从上至下依次记为A1,A2,L,A33,列从左至右依次记为B1,B2,L,B33.行Ai中方格出现的颜色数记为n(Ai),列Bi中方格出现的颜
4、t=1,L,r-1,有[键入文字][键入文字][键入文字]ar+2t-1=2r+t-1>r+2t-1,对t归纳证明.ar+2t=r-tr+1,[键入文字][键入文字][键入文字]ar+2=ar+1-(r+1)=2r-(r+1)=r-1r+2t+1,ar+2t+2=ar+2t+1-(r+2t
5、+1)=2r+t-(r+2t+1)=r-t-16、2017中满足a=r的数r[键入文字][键入文字][键入文字]2018222019r[键入文字][键入文字][键入文字]共有2018个,为r1,r2,L,r2018.…………………30分由①可知,对每个k=1,2,L,2017中恰有一半满足[键入文字][键入文字][键入文字]arr,偶数均满足ar7、入文字][键入文字][键入文字]1(3201720173-2019--=20181).…………………40分[键入文字][键入文字][键入文字]22三、(本题满分50分)将33´33方格纸中每个小方格染三种颜色之一,使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻两个小方格的颜色不同,则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值.解:记分隔边的条数为L.首先,将方格纸按如图分成三个区域,分别染成三种颜色,粗线上均为分隔边,此时共有56条分隔边,即L=56.…………10分[键入文字][键入文字][键入文字]1617171611111133下面证明8、L³56.将方格纸的行从上至下依次记为A1,A2,L,A33,列从左至右依次记为B1,B2,L,B33.行Ai中方格出现的颜色数记为n(Ai),列Bi中方格出现的颜
6、2017中满足a=r的数r[键入文字][键入文字][键入文字]2018222019r[键入文字][键入文字][键入文字]共有2018个,为r1,r2,L,r2018.…………………30分由①可知,对每个k=1,2,L,2017中恰有一半满足[键入文字][键入文字][键入文字]arr,偶数均满足ar7、入文字][键入文字][键入文字]1(3201720173-2019--=20181).…………………40分[键入文字][键入文字][键入文字]22三、(本题满分50分)将33´33方格纸中每个小方格染三种颜色之一,使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻两个小方格的颜色不同,则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值.解:记分隔边的条数为L.首先,将方格纸按如图分成三个区域,分别染成三种颜色,粗线上均为分隔边,此时共有56条分隔边,即L=56.…………10分[键入文字][键入文字][键入文字]1617171611111133下面证明8、L³56.将方格纸的行从上至下依次记为A1,A2,L,A33,列从左至右依次记为B1,B2,L,B33.行Ai中方格出现的颜色数记为n(Ai),列Bi中方格出现的颜
7、入文字][键入文字][键入文字]1(3201720173-2019--=20181).…………………40分[键入文字][键入文字][键入文字]22三、(本题满分50分)将33´33方格纸中每个小方格染三种颜色之一,使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻两个小方格的颜色不同,则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值.解:记分隔边的条数为L.首先,将方格纸按如图分成三个区域,分别染成三种颜色,粗线上均为分隔边,此时共有56条分隔边,即L=56.…………10分[键入文字][键入文字][键入文字]1617171611111133下面证明
8、L³56.将方格纸的行从上至下依次记为A1,A2,L,A33,列从左至右依次记为B1,B2,L,B33.行Ai中方格出现的颜色数记为n(Ai),列Bi中方格出现的颜
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