2018年全国高中数学联合竞赛加试参考答案(A卷)

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1、2018年全国高中数学联合竞赛加试（A卷）参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、（本题满分40分）设n是正整数，aa,,,,,,,,,abbbAB均为正12nn12bbbB12n实数，满足abaAi≤≤=,,1,2,,n，且≤．iiiaaaA12n(bb++1)(1)(b++1)B112n证明：≤．(aa++1)(1)(a++1)A112nbBbbbBi12n证明：由条件知

2、，kin=≥=1,1,2,,．记=K，则≤化为iaAaaaAi12nkkkK≤．要证明12nnka++11KAii∏≤．①i=1aAi++11对in=1,2,,，由于k≥1及0<≤aA知，iika+1k−1k−+11kAiiiii=−kk≤−=．iia+1a+1AA++11ii结合Kkk≥k知，为证明①，仅需证明当Aki>≥=0,1(1,2,,)n时，有12ninkA++11kkkAin12∏≤．②i=1AA++11…………………20分对n进行归纳．当n=1时，结论显然成立．当n=2时，由A>≥0,kk,1可知12kA++1kA1kkA+1Ak(−−1)(

3、k1)121212⋅−=−≤0，③2AAA+++111(A+1)因此n=2时结论成立．…………………30分设nm=时结论成立，则当nm=+1时，利用归纳假设知，mm+1kA+1kA++11kAkkkA++11kAiim++112mm1∏∏=⋅≤⋅ii=11A+1=AA++11A+1A+1kkkA+112m+1≤，A+1最后一步是在③中用kkkk,（注意kkk≥≥1,k1）分别代替kk,．12mm+112mm+112从而nm=+1时结论成立．由数学归纳法可知，②对所有正整数n成立，故命题得证．…………………40分1二、（本题满分40分）如图，ABC为

4、锐角三角形，ABAC，M为BC边的中点，点D和E分别为ABC的外接圆BAC和BC的中点，F为ABC的内切圆在AB边上的切点，G为AE与BC的交点，N在线段EF上，满足NBAB．证明：若BNEM，则DFFG．（答题时请将图画在答卷纸上）DAFBGMCNE证明：由条件知，DE为ABC外接圆的直径，DEBC于M，AEAD．记I为ABC的内心，则I在AE上，IFAB．由NBAB可知NBEABEABN(180ADE)9090ADEMEI．①…………………10分又根据内心的性质，有EBIEBCCBIEAC

5、ABIEABABIEIB，从而BEEI．结合BNEM及①知，NBE≌MEI．…………………20分DAFIBGMCNE于是EMIBNE90BFE180EFI，故EFIM,,,四点共圆．进而可知AFM90IFM90IEMAGM，从而AFGM,,,四点共圆．…………………30分再由DAGDMG90知，AGMD,,,四点共圆，所以AFGMD,,,,五点共圆．从而DFGDAG90，即DFFG．…………………40分221k−三、（本题满分50分）设nkm,,是正整数，满足k≥2，且nm≤

6、n设A是{1,2,,m}的n元子集．证明：区间0,中的每个整数均可表示为k−1aa−′，其中aaA,′∈．n证明：用反证法．假设存在整数x∈0,不可表示为aa−′，aaA,′∈．作k−1带余除法m=xqr+，其中0≤

7、,2这里α表示不

8、小于α的最小整数．…………………20分由条件，我们有kkn>=+m()xqr．②2121kk−−n又x∈0,，故k−1nkx>−(1)．③情形一：q是奇数．则由①知，q+1nx≤⋅．④2qk+1k结合②，④可知，x⋅≥>n()xqr+≥xq，从而qk<−21．再由q221kk−−21是奇数可知，qk≤−23，于是q+1nx≤⋅≤−(kx1)，2与③矛盾．情形二：q是偶数．则由①知，qnx≤⋅+r．⑤2qkxqk−−1(k1)x结合②，⑤可知，x⋅+≥>rn()xqr+，从而<