全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案及评分标准(b卷)

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1、全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案及评分标准（B卷）说明：1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分；2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不要增加其他中间档次．题一图一、（本题满分50分）如题一图，是圆内接四边形．与的交点为，是弧上一点，连接并延长交于点，点分别在，的延长线上，满足，，求证：四点共圆．[证]由已知条件知．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…10分又　　　　　，所以　　　　，答一图从而四点共圆，此圆记为．同理可证：四点共圆，此圆记

2、为．…20分点在圆，内．延长与圆相交于点，则　　　　，故四点共圆．…30分所以在的外接圆上，故在上．…40分再用相交弦定理：　　　，故四点共圆．…50分二、（本题满分50分）求满足下列关系式组的正整数解组的个数．[解]令，由条件知，方程化为，即．（1）因，故，从而．设．因此（1）化为．（2）…10分下分为奇偶讨论，（ⅰ）当为奇数时，由（2）知为奇数．令，，代入（2）得．（3）（3）式明显无整数解．故当为奇数时，原方程无正整数解．…20分（ⅱ）当为偶数时，设，由方程（2）知也为偶数．从而可设，代入（2）化简得．（4）由（4）式有，故，从而可设，则

3、（4）可化为，．　　　　　　　　　　　　（5）因为整数，故．…30分又，因此，得，．因此，对给定的，解的个数恰是满足条件的的正因数的个数．因不是完全平方数，从而为的正因数的个数的一半．即．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…40分由题设条件，．而25以内有质数9个：2，3，5，7，11，13，17，19，23．将25以内的数分为以下八组：：，，，，，，，，从而易知，，，，，，，，将以上数相加，共131个．因此解的个数共131．　　　…50分三、（本题满分50分）设，．证明：当且仅当时，存在数列满足以下条件：（ⅰ），；（ⅱ）存在

4、；（ⅲ），．[证]必要性：假设存在满足（ⅰ），（ⅱ）．注意到（ⅲ）中式子可化为，，其中．将上式从第1项加到第项，并注意到得．…10分由（ⅱ）可设，将上式取极限得，因此．…20分充分性：假设．定义多项式函数如下：，，则在[0,1]上是递增函数，且，．因此方程在[0,1]内有唯一的根，且，即．…30分下取数列为，，则明显地满足题设条件（ⅰ），且．因，故，因此，即的极限存在，满足（ⅱ）．…40分最后验证满足（ⅲ），因，即，从而．综上，已证得存在数列满足（ⅰ），（ⅱ），（ⅲ）．…50分高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准（B卷）以说明：1．评阅试

5、卷时，请依据本评分标准．选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中5分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．函数在上的最小值是（B）A．3B．2C．1D．0[解]当时，，因此，当且仅当时上式取等号．而此方程有解，因此在上的最小值为2．2．设，，若，则实数的取值范围为（A）A．B．C．D．[解]因有两个实根，，故等价

6、于且，即且，解之得．3．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数的期望为　　　（C）A.　B.　C.　　D.[解法一]依题意知，的所有可能值为2，4，6.设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为　　　　．若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有　　　　，　　　　，　　　　，故．[解法二]依题意知，的所有可能值为2，4，6

7、.令表示甲在第局比赛中获胜，则表示乙在第局比赛中获胜．由独立性与互不相容性得，，，故．4．若三个棱长均为整数（单位：cm）的正方体的表面积之和为564cm2，则这三个正方体的体积之和为（D）A.586cm3　B.586cm3或564cm3　C.764cm3　　D.764cm3或586cm3[解]设这三个正方体的棱长分别为，则有，，不妨设，从而，．故．只能取9，8，7，6．若，则，易知，，得一组解．若，则，．但，，从而或5．若，则无解，若，则无解．此时无解．若，则，有唯一解，．若，则，此时，．故，但，故，此时无解．综上，共有两组解或体积为cm3或

8、cm3．5．方程组的有理数解的个数为（C）A.4B.3C.2D.1[解]若，则解得或若，则由得．①由得．②将②代入得．③由①得，代入③化简得.易知无有