2008年全国高中数学联合竞赛加试

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1、学而思教育·学习改变命运思考成就未来！高考网www.igaokao.com2008年全国高中数学联合竞赛加试（A卷）试题参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分；2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、（本题满分50分）如题一图，给定凸四边形，，是平面上的动点，令．（Ⅰ）求证：当达到最小值时，四点共圆；答一图1（Ⅱ）设是外接圆的上一点，满足：，，，又是的切线，，求的最小值．[解法一]（Ⅰ）如答一图

2、1，由托勒密不等式，对平面上的任意点，有．因此．因为上面不等式当且仅当顺次共圆时取等号，因此当且仅当在的外接圆且在上时，．…10分又因，此不等式当且仅当共线且在上时取等号．因此当且仅当为的外接圆与的交点时，取最小值．故当达最小值时，四点共圆．…20分（Ⅱ）记，则，由正弦定理有，从而，即，所以，整理得，　　　　　　　　　　　　　　…30分解得或（舍去），故，．由已知=,有，即，整理得，故，可得，　　　　　…40分从而，，为等腰直角三角形．因，则．又也是等腰直角三角形，故，，．5学而思教育·学习改变命运思考成就未来！高考网www.igao

3、kao.com故．…50分答一图2[解法二]（Ⅰ）如答一图2，连接交的外接圆于点（因为在外，故在上）．过分别作的垂线，两两相交得，易知在内，从而在内，记之三内角分别为，则，又因，，得，同理有，，所以∽．…10分设，，，则对平面上任意点，有，从而．由点的任意性，知点是使达最小值的点．由点在上，故四点共圆．　…20分（Ⅱ）由（Ⅰ），的最小值，记，则，由正弦定理有，从而，即，所以，整理得，　　　　　　　　　　　　　　…30分解得或（舍去），故，．由已知=,有，即，整理得，故，可得，　　　　　…40分所以，为等腰直角三角形，，，因为，点在上，

4、，所以为矩形，，故，所以．…50分[解法三]（Ⅰ）引进复平面，仍用等代表所对应的复数．5学而思教育·学习改变命运思考成就未来！高考网www.igaokao.com由三角形不等式，对于复数，有，当且仅当与（复向量）同向时取等号．有，所以（1），从而．（2）　…10分（1）式取等号的条件是复数与同向，故存在实数，使得，　　　，所以，向量旋转到所成的角等于旋转到所成的角，从而四点共圆．（2）式取等号的条件显然为共线且在上．故当达最小值时点在之外接圆上，四点共圆．…20分（Ⅱ）由（Ⅰ）知．以下同解法一．二、（本题满分50分）设是周期函数，和1

5、是的周期且．证明：（Ⅰ）若为有理数，则存在素数，使是的周期；（Ⅱ）若为无理数，则存在各项均为无理数的数列满足，且每个都是的周期．[证]　（Ⅰ）若是有理数，则存在正整数使得且，从而存在整数，使得．于是是的周期．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…10分又因，从而．设是的素因子，则，，从而5学而思教育·学习改变命运思考成就未来！高考网www.igaokao.com　　是的周期．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…20分（Ⅱ）若是无理数，令，则，且是无理数，令，……，……．…30分由数学归纳法易知均为无理

6、数且．又，故，即．因此是递减数列．…40分最后证：每个是的周期．事实上，因1和是的周期，故亦是的周期．假设是的周期，则也是的周期．由数学归纳法，已证得均是的周期．…50分三、（本题满分50分）设，．证明：当且仅当时，存在数列满足以下条件：（ⅰ），；（ⅱ）存在；（ⅲ），．[证]必要性：假设存在满足（ⅰ），（ⅱ），（iii）．注意到（ⅲ）中式子可化为，，其中．将上式从第1项加到第项，并注意到得．…10分由（ⅱ）可设，将上式取极限得，5学而思教育·学习改变命运思考成就未来！高考网www.igaokao.com因此．…20分充分性：假设．定义

7、多项式函数如下：，，则在[0,1]上是递增函数，且，．因此方程在[0,1]内有唯一的根，且，即．…30分下取数列为，，则明显地满足题设条件（ⅰ），且．因，故，因此，即的极限存在，满足（ⅱ）．…40分最后验证满足（ⅲ），因，即，从而．综上，存在数列满足（ⅰ），（ⅱ），（ⅲ）．…50分5