2015 年全国高中数学联合竞赛(A卷)一试试题及答案

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1、2015年全国高中数学联合竞赛(A卷)一试说明:1.评阅试卷时,请依据本评分标冶填空题只设0分和8分两档;其他各题的评阅,请严格按照本评分标准的评分档次给分,不要增加其他中间档次.2.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分,解答题中第9小题4分为一个档次,第10、11小题5分为一个档次,不要增加其他中间档次.一、填空题:本大题共8小题,每小题份分,满分64分.1.设为不相等的实数,若二次函数满足,则2.若实数满足,则的值为.3.已知复数数列满足,则.4.在矩形中,,线段上的动点与延长线上

2、的动点满足条件,则的最小值为.5.在正方体中随机取三条棱,它们两两异面的概率为.6.在平面直角坐标系中,点集所对应的平面区域的面积为.7.设为正实数,若存在实数,使得,则的取值范围为.8.对四位数,若则称为类数,若,则称为类数,则类数总量与类数总量之差等于.三、解答题9.(本题满分16分)若实数满足,求的最小值.1710.(本题满分20分)设为四个有理数,使得:,求的值.1711.(本题满分20分)设分别为椭圆的左右焦点,设不经过焦点的直线与椭圆交于两个不同的点,焦点到直线的距离为,如果的斜率依次成等差数列,求的取值范围.17加试1.(本题满分

3、40分)设是实数,证明:可以选取,使得.2.(本题满分40分)设其中是个互不相同的有限集合,满足对任意的,均有,若,证明:存在,使得属于中的至少个集合.173.(本题满分50分)如图,内接于圆,为弧上一点,点在上,使得平分,过三点的圆与边交于,连接交圆于,连接,延长交于,证明:.174.(本题满分50分)求具有下述性质的所有正整数:对任意正整数都有不整除.172015年全国高中数学联合竞赛(A卷)参考答案及评分标准一试说明:1.评阅试卷时,请依据本评分标冶填空题只设。分和香分两档;其他各题的评阅,请严格按照本评分标准的评分档次给分,不要增加其他

4、中间档次.2.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分,解答题中第9小题4分为一个档次,第10、11小题该分为一个档次,不要增加其他中间档次.一、填空题:本大题共8小题,每小题份分,满分64分.1.设为不相等的实数,若二次函数满足,则答案:4.解:由己知条件及二次函数图像的轴对称性,可得,即,所以.2.若实数满足,则的值为.答案:2.解:由条件知,,反复利用此结论,并注意到,得.3.已知复数数列满足,则.答案:2015+1007i.解:由己知得,对一切正整数n,有,于是.4.在矩形中,,线

5、段上的动点与延长线上的动点满足条件,则的最小值为.答案.解:不妨设A(0,0),B(2,0),D(0,l).设P的坐标为(,l)(其中),则由得Q的坐标为(2,-),故,因此,17.当时,.5.在正方体中随机取三条棱,它们两两异面的概率为.答案:.解:设正方体为ABCD-EFGH,它共有12条棱,从中任意取出3条棱的方法共有=220种.下面考虑使3条棱两两异面的取法数.由于正方体的棱共确定3个互不平行的方向(即AB、AD、AE的方向),具有相同方向的4条棱两两共面,因此取出的3条棱必属于3个不同的方向.可先取定AB方向的棱,这有4种取法.不妨设

6、取的棱就是AB,则AD方向只能取棱EH或棱FG,共2种可能.当AD方向取棱是EH或FG时,AE方向取棱分别只能是CG或DH.由上可知,3条棱两两异面的取法数为4×2=8,故所求概率为.6.在平面直角坐标系中,点集所对应的平面区域的面积为.答案:24.解:设.先考虑在第一象限中的部分,此时有,故这些点对应于图中的△OCD及其内部.由对称性知,对应的区域是图中以原点O为中心的菱形ABCD及其内部.同理,设,则对应的区域是图中以O为中心的菱形EFGH及其内部.由点集的定义知,所对应的平面区域是被、中恰好一个所覆盖的部分,因此本题所要求的即为图中阴影区

7、域的面积S.由于直线CD的方程为,直线GH的方程为,故它们的交点P的坐标为.由对称性知,.7.设为正实数,若存在实数,使得,则的取值范围为.答案:.解:知,,而,故题目条件等价于:存在整数,使得.①17当时,区间的长度不小于,故必存在满足①式.当时,注意到,故仅需考虑如下几种情况:(i),此时且无解;(ii),此时;(iii),此时,得.综合(i)、(ii)、(iii),并注意到亦满足条件,可知.8.对四位数,若则称为类数,若,则称为类数,则类数总量与类数总量之差等于.答案:285.解:分别记P类数、Q类数的全体为A、B,再将个位数为零的P类数

8、全体记为,个位数不等于零的尸类数全体记为.对任一四位数,将其对应到四位数,注意到,故.反之,每个唯一对应于从中的元素.这建立了与B之间的一一对应,因此

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