2015年全国高中数学联合竞赛一试解答(B卷)

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1、南京惟越教育中学（初高）课外辅导中心2015年全国高中数学联合竞赛一试（B卷）参考答案及评分标准说明：1.评阅试卷时，请依据本评分标准.填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．ax,x[0,3],1.

2、已知函数fx()其中a为实数.如果ff(2)(4)，则a的axxlog,(3,),2取值范围是.答案：(2,).解：fa(2)2，fa(4)2，所以aa22，解得：a2.32.已知yfxx()为偶函数，f(10)15．则f(10)的值为．答案：2015．33解：由已知得ff(10)(10)(10)10，即ff(10)(10)20002015．3.某房间的室温T（单位：摄氏度）与时间t（单位：小时）的函数关系是：Tatbtsincos，t

3、(0,)，其中ab,是正实数.如果该房间的最大温差为10摄氏度，则ab的最大值是.答案：52.22解：由辅助角公式：Tatbtabsincossin(t)，其中满足条件ba2222sinϕϕ=,cos=.则函数T的值域是abab,，室内最大温2222ab++ab2222差为2ab10，得ab5.225故ab2ab52，等号成立当且仅当ab2.24.设正四棱柱ABCDABCD的底面ABCD是单位正方形，如果二面角ABDC111111的大小

4、是，则AA.136答案：.2解：取BD的中点O，连接OAOAOC,,.11南京惟越教育中学（初高）课外辅导中心D1C1则AOC是二面角ABDC的平面角，因此1111B1A1AOC11.又OA11OC，所以OAC11是等边三角形.故3AO1AC112，所以DCOAB222226AA11AOAO2.225.已知数列{}a是一个等差数列，首项与公差均为正数，且aaa,,依次成等比数列，n259则使得aaa100a的最小正整数k的值是.12k

5、1答案：34.解：设数列{}a的公差为d，则aad，aad4，aad8.n2151912因为aaa,,依次成等比数列，所以aaa，即2592952(ada)(8)d(a4)d.1112化简上式得到：ad8d.又d0，所以ad8.由11kk(1)akdaaa12kk(1)12kk100.aa1611解得k34.min226.设k为实数，在平面直角坐标系xOy中有两个点集A(,)

6、xyxy2(xy)和B(,)

7、xykxyk30.若A

8、B是单元集，则k的值是.答案：23.y22P(-1,3)解：点集A是圆周:(xy1)(1)2，点集B是恒过点P(1,3)的直线ly:3kx(1)及下方（包括边界）.作出这两个点集知，当AB是单元集时，直线l是过点PM(1,1)Γ的圆的一条切线.故圆的圆心M(1,1)到直线l的距离等于圆Oxkk13的半径2，故2.2k1结合图像，应取较小根k23.22yx7.在平面直角坐标系xOy中，P是椭圆1上的一个动点，点AB,的坐标分43别为(1,1),(0,1)，

9、则PAPB最大值为．答案：5．解：取F(0,1)，则FB,分别是椭圆的上、下焦点，由椭圆定义知，PFPB4．南京惟越教育中学（初高）课外辅导中心因此，PAPB4PFPA4FA415．3当P在AF延长线与椭圆的交点,1时，PAPB最大值为5．28.正2015边形AAA内接于单位圆O，任取它的两个不同的顶点AA,，122015ijOAOA1的概率是.ij671答案：.1007解：因为OAOA1，所以ij

10、222OAiOAj=OAiOAj2OAOAij21cosOAOAij,.1故OAijOA1的充分必要条件是cosOAOAij,，即向量OAOAij,的夹角不超22过.3对任意给定的向量OAi，满足条件OAijOA1的向量OAj的取法共有：22