2019年全国高中数学联合竞赛一试试题(A卷)解答.pdf

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1、Zy2019年全国高中数学联合竞赛一试试题（A卷）一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,满分64分.1.已知正实数a满足aa=(9a)8a;则log3a的值为.a解:a8a177a=(9a))a=8aloga(9a))loga(9a)=loga9+1=;2loga3=;loga3=;88169loga3a=loga3+1=:162.若实数集合f1;2;3;xg的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素之和,则x的值为.!!!!!2!!!3.平面直角坐标系中,e是单位向量,向量a满足a
e=2;且jaj5ja+t

2、ej对任意实数t成立,则jaj的取值范围是.p4.设A;B为椭圆的长轴顶点,E;F为的两个焦点,jABj=4;jAFj=2+3;P为上一点,满足jPEj
jPFj=2;则△PEF的面积为.ppp解:不妨设椭圆a>b;则jABj=2a=4;jAFj=2+c=2+3;得a=2;c=3;b=a2c2=1;x2:+y2=1;4pjPEj+jPFj=2a=4;jPEj
jPFj=2;jEFj=2c=23;2222jPEj+jPFj=(jPEj+jPFj)2jPEj
jPFj=jEFj)EPF=;2则S=1jPEj
jPFj=1:

3、△PEF25.在1;2;3;


;10中随机选出一个数a,在1;2;3;


;10中随机选出一个数b,则a2+b被3整除的概率为.解:37:1006.对任意闭区间I,用MI表示函数y=sinx在I上的最大值,若正数a满足M[0;a]=2M[a;2a];则a的值为.解:设0

4、a2k+与ak+矛盾;612故513a=;:6127.如图,正方体ABCDEFGH的一个截面经过顶点A;C及棱EF上一点K,且将正方体分成体积比为3:1的两部分,则EK的值为.KFLATEX第I页2019年9月8号Zy图2解:设正方体棱长为l,EK=x;KFVIABCVIKFJ1=;VABCDEFGH4EKAEll==x)IF=;KF=FJ=;KFIFxx+12112l113111ll11313VIABC=l+l=l+1;VIKFJ==l2;VABCDEFGH=l;32x32x32x+1x32x(x+

5、1)()11l31+111l3132x32x(x+1)211113(2)EKp=)=,x3x=xx3=0;x==3:l34xx(x+1)22KF8.将6个数2;0;1;9;20;19按任意次序排成一行,拼成一个8位数（首位不为0）,则产生的不同的8位数的个数为.解:498:二、解答题:本大题共3小题,满分56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.9.（本小题满分16分）在△ABC中,BC=a;CA=b;AB=c;若b是a与c的等比中项,且sinA是sin(BA)与sinC的等差中项,求cosB的值.解:{b2=ac,

6、sin2B=sinAsinC;2sinA=sin(BA)+sinC2sinA=sin(BA)+sinC=2sinA=sin(BA)+sin(B+A)=2sinBcosA;asinAb2+c2a2==cosA=)b2+c2a2=2ac,c2aca2=0;bsinB2bc2sinB=sinAsinC=sinBcosAsinC)sinB=cosAsinC)sinAcosC=0)C=A+B=;2ÉÉÉppa2a2a5151cosB=sinA=1=1=1=1=:b2acc22解法2:设a;b=qa;c=q2a;代入c2

7、aca2=0中:p(2)22224225+1qaqaa=0,qq1=0)q=;2()2pa2+c2b2a2+q2aq2a2q4q2+1151cosB====q2++1=:2ac2q2a2q2q2210.（本小题满分20分）在平面直角坐标系xOy中,圆Ω与抛物线:y2=4x恰有一个公共点,且圆Ω与x轴相切于的焦点F,求圆Ω的半径.解:F(1;0);Ω:(x1)2+(yr)2=r2;与:y2=4x联立得pp222(x+1)x2x+1+4x4rx=x+2x4rx+1=0)r=p;4x2(x+1)因为Ω与只

8、有一个公共点,即方程r=p有且仅有一根,4x设2p12(x+1)12(x+1)xp(x+1)1p11p′2xf(x)=;x>0;f(x)==x(x+1)3=0)x=;4x4x8xx3(1)2p111+