2010年全国高中数学联合竞赛一试试题及答案

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1、2010年全国高中数学联合竞赛一试试题（A卷）考试时间：2010年10月17日8：00—9：20一、填空题（本题满分64分，每小题8分）1.函数的值域是______________.2.已知函数的最小值为，则实数的取值范围是_____________.3.双曲线的右半支与直线围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是___________.4.已知是公差不为0的等差数列，是等比数列，其中，且存在常数使得对每一个正整数都有，则____________.5.函数在区间上的最大值为8，则它在这个区间上的

2、最小值是___________________.6.两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率为_________________.7.正三棱柱的9条棱长都相等，是的中点，二面角,则_____________.8.方程满足的正整数解的个数是_____________.二、解答题（本题满分56分）9.(本小题满分16分)已知函数，当时，，试求的最大值.10.(本小题满分20分)已知抛物线上的两个动点和,其中且.线段的垂直平分线与轴交于点,求△面积的最大

3、值.11.(本小题满分20分)证明：方程恰有一个实根，且存在唯一的严格递增正整数列，使得.2010年全国高中数学联合竞赛加试试题（A卷）考试时间：2010年10月17日9：40—12：10一、（本题满分40分）如图，锐角三角形的外心为，是边上一点（不是边的中点），是线段延长线上一点，直线与交于点，直线与交于点.求证：若,则四点共圆.二、（本题满分40分）设是给定的正整数，.记,.证明：存在正整数,使得为一个整数.这里，表示不小于实数的最小整数，例如.三、（本题满分50分）给定整数,设正实数满足,,记求证：.四、（本题

4、满分50分）一种密码锁的密码设置是在正边形的每个顶点处赋值0和1两个数中的一个，同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同.问：这种密码锁共有多少种不同的密码设置.2010年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案与评分标准说明：1.评阅试卷时，请依据本评分标准。填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次。2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9

5、小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不要增加其他中间档次。一、填空题1..2.3..4..5..6..7..8..1.易知上是增函数，从而可知的值域为[-3,].2.令sinx=t，则原函数化为g(t)=(-at2+a-3)t，即g(t)=-at3+(a-3)t.由-at3+(a-3)t-3，-at(t2-1)-3(t-1)0，(t-1)(-at(t+1)-3)及知-at(t+1)-3即.（1）当t=0，-1时（1）总成立：对；对.从而可知3.由对称性知，只需先考虑x轴上方的情况，设与双曲线右半支交于

6、点，与直线交于点，则线段内部的整点个数为，从而在轴上方区域内部整点的个数为又x轴上有98个整点，则所求整点个数为.4.设则3+d=q，（1）3（3+4d）=q2，（2）（1）代入（2）得从而有对一切正整数n都成立，即对一切正整数n都成立。从而，求得.5.令，则原函数化为上是递增的，当0

7、角坐标系。设正三棱柱的棱长为2，则B（1，0，0），B1（1，0，2），A1（-1，0，2），P（0，，1），从而，.设分别与平面BA1P、平面B1A1P垂直的向量是，则由此可设所以即.所以.解二：如图设交与点0，则，因为，从而.过0在平面上作.连接的平面角.设=2，则易求得在直角，即又8.首先易知x+y+z=2010的正整数解的个数为20091004.把x+y+z=2010满足的正整数解分为三类：（1）x，y，z均相等的正整数解的个数显然为1；（2）x，y，z中有且仅有2个相等的正整数解的个数，易知为1003；（3

8、）设x，y，z两两均不相等的正整数解为k.易知1+31003+6k=20091004，6k=20091004-31003-1=20061005-2009+32-1=20061005-2004，k=1003335-334=335671.从而满足的正整数解的个数为1+1003+335671=336675.二、解答题9.解一：，由得（4分）（8分）所