2018年全国高中数学联合竞赛一试试题及参考答案

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1、2018年全国高中数学联合竞赛一试（A卷）参考答案及评分标准说明：1.评阅试卷时，请依据本评分标准.填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1.设集合A1,2,3,,99,B2xxACxxA,2，则BC的元素个数为．答案：24．1399解：由条件

2、知，BC2,4,6,,198,1,,2,,2,4,6,,48，222故BC的元素个数为24．2.设点P到平面的距离为3，点Q在平面上，使得直线PQ与所成角不小于30且不大于60，则这样的点Q所构成的区域的面积为．答案：8．OP3解：设点P在平面上的射影为O．由条件知，tanOQP,3，OQ322即OQ[1,3]，故所求的区域面积为318．3.将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为abcdef,,,,,，则abcdef+是偶数的概率为．9答案：．10解：先考虑abcdef+为奇数的情况

3、，此时abcdef,一奇一偶，若abc为奇数，则abc,,为1,3,5的排列，进而def,,为2,4,6的排列，这样有3!3!×=36种情况，由对称性可知，使abcdef+为奇数的情况数为362×=72种．从而abcdef+为偶72729数的概率为11−=−=．6!7201022xy4.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:1(ab0)的左、右焦点22ab分别是F、F，椭圆C的弦ST与UV分别平行于x轴与y轴，且相交于点P．已12知线段PUPSPVPT,,,的长分别为1,2,3,6，则PFF的面积为．12答案：15．解：由对称性，不妨设Pxy(,)在第一象限，则由条件知P

4、P11xPPPTPS2,yPVPU1，221即P(2,1)．进而由xPU1,PS2得US(2,2),(4,1)，代入椭圆C的方程知P11112244161，解得ab20,5．2222abab122从而SFFyaby15．PFF1212PP25.设fx()是定义在R上的以2为周期的偶函数，在区间[0,1]上严格递减，1x2,且满足ff()1,(2)2，则不等式组的解集为．1fx()2答案：[2,82]．解：由fx()为偶函数及在[0,1]上严格递减知，fx()在[1,0]上严格递增

5、，再结合fx()以2为周期可知，[1,2]是fx()的严格递增区间．注意到fff(2)()1,(82)ff(2)(2)2，所以1fx()2f(2)fx()f(82)，而12822，故原不等式组成立当且仅当x[2,82]．26.设复数z满足z1，使得关于x的方程zx220zx有实根，则这样的复数z的和为．3答案：．222解：设zababi(,R,ab1)．2将原方程改为(abxi)2(abxi)20，分离实部与虚部后等价于2ax220ax，①2bx20bx．②2若b0，则

6、a1，但当a1时，①无实数解，从而a1，此时存在实数x13满足①、②，故z1满足条件．若b0，则由②知x{0,2}，但显然x0不满足①，故只能是x2，代115115i入①解得a，进而b，相应有z．444115i115i3综上，满足条件的所有复数z之和为1．4427.设O为ABC的外心，若AOAB2AC，则sinBAC的值为．10答案：．4解：不失一般性，设ABC的外接圆半径R2．由条件知，2ACAOABBO，①1故ACBO1．22取AC的中点M

7、，则OMAC，结合①知OMBO，且B与A位于直线MC1OM的同侧．于是cosBOCcos(90MOC)sinMOC．OC4在BOC中，由余弦定理得22BCOBOC2OBOCcosBOC10，BC10进而在ABC中，由正弦定理得sinBAC．24R8.设整数数列aa,,,a满足a3,aaa2a，且1210101285a{1a,2ai},1,2,,9，i1ii则这样的数列的个数为．答案：80．解：设baa{1,2}(i