2008年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准(a卷)

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1、（A卷）说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准．选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中5分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．函数在上的最小值是（C）A．0B．1C．2D．3[解]当时，，因此，当且仅当时上式取等号．而此方程有解，因此在上的最小值为2．2．设，，若，

2、则实数的取值范围为（D）A．B．C．D．[解]因有两个实根，，故等价于且，即且，解之得．3．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数的期望为　　　（B）A.　B.　C.　　D.[解法一]依题意知，的所有可能值为2，4，6.设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为　　　　．若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果

3、对下轮比赛是否停止没有影响．从而有　　　　，　　　　，　　　　，故．[解法二]依题意知，的所有可能值为2，4，6.令表示甲在第局比赛中获胜，则表示乙在第局比赛中获胜．由独立性与互不相容性得，，，故．4．若三个棱长均为整数（单位：cm）的正方体的表面积之和为564cm2，则这三个正方体的体积之和为（A）A.764cm3或586cm3B.764cm3　C.586cm3或564cm3D.586cm3[解]设这三个正方体的棱长分别为，则有，，不妨设，从而，．故．只能取9，8，7，6．若，则，易知，，得一组解．

4、若，则，．但，，从而或5．若，则无解，若，则无解．此时无解．若，则，有唯一解，．若，则，此时，．故，但，故，此时无解．综上，共有两组解或体积为cm3或cm3．5．方程组的有理数解的个数为（B）A.1B.2C.3D.4[解]若，则解得或若，则由得．①由得．②将②代入得．③由①得，代入③化简得.易知无有理数根，故，由①得，由②得，与矛盾，故该方程组共有两组有理数解或6．设的内角所对的边成等比数列，则的取值范围是（C）A.B.C.D.[解]设的公比为，则，而　　．因此，只需求的取值范围．因成等比数列，最大边

5、只能是或，因此要构成三角形的三边，必需且只需且．即有不等式组即解得从而，因此所求的取值范围是．二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7．设，其中为实数，，，，若，则　5.[解]由题意知，由得，，因此，，．8．设的最小值为，则．[解]，(1)时，当时取最小值；(2)时，当时取最小值1；(3)时，当时取最小值．又或时，的最小值不能为，故，解得，(舍去)．9．将24个志愿者名额分配给3个学校，则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有　222　　种．[解法一]用4条棍子间的空隙代表3个学校，而用

6、表示名额．如　　表示第一、二、三个学校分别有4，18，2个名额．若把每个“”与每个“”都视为一个位置，由于左右两端必须是“｜”，故不同的分配方法相当于个位置（两端不在内）被2个“｜”占领的一种“占位法”．“每校至少有一个名额的分法”相当于在24个“”之间的23个空隙中选出2个空隙插入“｜”，故有种．又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种．综上知，满足条件的分配方法共有253－31＝222种．[解法二]　设分配给3个学校的名额数分别为，则每校至少有一个名额的分

7、法数为不定方程　　　　　．的正整数解的个数，即方程的非负整数解的个数，它等于3个不同元素中取21个元素的可重组合：．又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种．综上知，满足条件的分配方法共有253－31＝222种．10．设数列的前项和满足：，，则通项=．[解]，即2=，由此得2．令，()，有，故，所以．11．设是定义在上的函数，若，且对任意，满足，，则=．[解法一]由题设条件知，因此有，故．[解法二]令，则，，即，故，得是周期为2的周期函数，所以．12．一个半径

8、为1的小球在一个内壁棱长为的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是．[解]如答12图1，考虑小球挤在一个角时的情况，记小球半径为，作平面//平面，与小球相切于点，则小球球心为正四面体的中心，，垂足为的中心．因答12图1，故，从而．记此时小球与面的切点为，连接，则．考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为)相切时的情况，易知小球在面上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，记为，如答12图2．记正四面体的棱长为，过作于．答12