2010年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标

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1、欢迎光临《中学数学信息网》zxsx127@163.com2010年全国高中数学联合竞赛一试试卷（B卷）（考试时间：10月17日上午8：00-9：20）题号一二合计加试总成绩91011得分评卷人复核人考生注意：1．本卷共二大题，全卷满分120分。2．用圆珠笔或钢笔作答，解题书写不要超出装订线。3．不能用计算器。一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分，把答案填在横线上。得分评卷人1．函数的值域是．2．已知函数的最小值为，则实数的取值范围是．3．双曲线的右半支与直线围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是．4

2、．已知是公差不为的等差数列，是等比数列，其中且存在常数、使得每一个正整数都有，则．5．函数在区间上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值是．6．两个人轮流掷骰子，每人每次掷骰子两颗，第一个使两子点数之和大于6者为胜，否则轮另一人投掷。先投掷人获胜的概率是．7．正三棱柱的9条棱长都相等，是的中点，二面角，则．8．方程满足的正整数解的个数是．得分《中学数学信息网》系列资料WWW.ZXSX.COM版权所有@《中学数学信息网》欢迎光临《中学数学信息网》zxsx127@163.com评卷人二、解答题：本大题3小题，共56分。解答题写出文字说明、

3、证明过程或演算步骤。9．（本题满分16分）已知函数，当时，，试求的最大值。得分评卷人10．（本题满分20分）已知抛物线上的两个动点和，其中且，线段垂直平分线与轴交于点，求△面积的最大值。得分评卷人11．（本题满分20分）数列满足，．求证：．《中学数学信息网》系列资料WWW.ZXSX.COM版权所有@《中学数学信息网》欢迎光临《中学数学信息网》zxsx127@163.com2010年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准（B卷）说明：1.评阅试卷时，请依据本评分标准.填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准

4、的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不要增加其他中间档次。一、填空题（本题满分64分，每小题8分）1.函数的值域是.解：易知的定义域是，且在上是增函数，从而可知的值域为.2.已知函数的最小值为，则实数的取值范围是.解：令，则原函数化为，即.由，，及知即（1）当时（1）总成立；对；对.从而可知.3.双曲线的右半支与直线围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）

5、的个数是9800.解：由对称性知，只要先考虑轴上方的情况，设与双曲线右半支于,交直线于，则线段内部的整点的个数为，从而在轴上方区域内部整点《中学数学信息网》系列资料WWW.ZXSX.COM版权所有@《中学数学信息网》欢迎光临《中学数学信息网》zxsx127@163.com的个数为.又轴上有98个整点，所以所求整点的个数为.1.已知是公差不为的等差数列，是等比数列，其中，且存在常数使得对每一个正整数都有，则.解：设的公差为的公比为，则（1），（2）（1）代入（2）得，求得.从而有对一切正整数都成立，即对一切正整数都成立.从而，求得，.2

6、.函数在区间上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值是.解：令则原函数化为,在上是递增的.当时，,，所以；当时，，，《中学数学信息网》系列资料WWW.ZXSX.COM版权所有@《中学数学信息网》欢迎光临《中学数学信息网》zxsx127@163.com所以.综上在上的最小值为.1.两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是.解：同时投掷两颗骰子点数和大于6的概率为，从而先投掷人的获胜概率为.2.正三棱柱的9条棱长都相等，是的中点，二面角,则.解一：如图，以所在直线为轴

7、，线段中点为原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系.设正三棱柱的棱长为2，则，从而，.设分别与平面、平面垂直的向量是、，则由此可设，所以，即.所以.《中学数学信息网》系列资料WWW.ZXSX.COM版权所有@《中学数学信息网》欢迎光临《中学数学信息网》zxsx127@163.com解二：如图，.设与交于点则.从而平面.过在平面上作,垂足为.连结,则为二面角的平面角.设,则易求得.在直角中，,即.又..1.方程满足的正整数解（x,y,z）的个数是336675.解：首先易知的正整数解的个数为.把满足的正整数解分为三类：（1）均相等的正整数

8、解的个数显然为1；（2）中有且仅有2个相等的正整数解的个数，易知为1003；(3)设两两均不相等的正整数解为.易知，《中学数学信息网》系列资料WWW.ZXSX.COM版权所有@《中学数学信息网》欢迎光临《中学数学信息网》