全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准

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1、2011年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知，，则的值为【】A．1.B．.C．.D．.【答】B.由可得，即，即，即，所以．2．已知△的两条高线的长分别为5和20,若第三条高线的长也是整数，则第三条高线长的最大值为【】A．5.B．6.C．7.D．8.【答】B.设△

2、的面积为S，所求的第三条高线的长为h，则三边长分别为．显然，于是由三边关系，得解得．所以的最大整数值为6,即第三条高线的长的最大值为6.3．方程的解的个数为【】A．1个B．2个C．3个D．4个【答】C.当时，方程为，即，解得，，均满足．当时，方程为，即，解得，满足．综上，原方程有3个解．4．今有长度分别为1，2，…，9的线段各一条，现从中选出若干条线段组成“线段组”，由这一组线段恰好可以拼接成一个正方形，则这样的“线段组”的组数有【】A．5组.B．7组.C．9组.D．11组.【答】C.显然用这些线段去拼接成正方形，至少要7条．当用7条线段去拼接成正方形时

3、，有3条边每边都用2条线段连接，而另一条边只用1条线段，其长度恰好等于其它3条边中每两条线段的长度之和．当用8条线段去拼接成正方形时，则每边用两条线段相接，其长度和相等．又因为，所以正方形的边长不大于．由于；；；；．所以，组成边长为7、8、10、11的正方形，各有一种方法；组成边长为9的正方形，有5种方法。故满足条件的“线段组”的组数为1×4＋5＝9．5．如图，菱形ABCD中，，，，，，则【】A．.B．.C．.D．.【答】D.过F作AB的垂线，垂足为H．∵，，∴，，，又∵，∴，从而△FHE是等腰直角三角形，所以HE＝FH＝，∴．6．已知，，，则的值为【】

4、A．1.B．.C．2.D．.【答】C.由已知等式得，，，所以．于是，，，．所以，，，即。代入，得，解得．所以．二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．在△ABC中，已知，，则．【答】。延长AB到D，使BD＝BC，连线段CD，则，所以CA＝CD。作于点E，则E为AD的中点，故，.在Rt△BCE中，，所以，故．2．二次函数的图象的顶点为D，与x轴正方向从左至右依次交于A，B两点，与y轴正方向交于C点，若△ABD和△OBC均为等腰直角三角形（O为坐标原点），则．【答】2．由已知，得，，，．过D作于点E，，则，即，得，所以或．又，所以．又，即，得．3．能使

5、是完全平方数的正整数n的值为．【答】11.当时，，若它是完全平方数，则n必为偶数．若，则；若，则；若，则；若，则。所以，当时，都不是完全平方数．当时，，若它是完全平方数，则为一奇数的平方。设（k为自然数），则．由于和一奇一偶，所以，于是，故．4．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，过点A作圆的切线与CD的延长线交于点F，如果，，D为EF的中点，则AB＝．【答】24.设，则．连AD，BC．因为AB为⊙O的直径，AF为⊙O的切线，所以．又因为D为Rt△AEF的斜边EF的中点，∴，∴，∴，∴．在Rt△AEF中，由勾股定理得，即．设，由相交弦定理得

6、，即，∴①又∵，∴．又，∴，从而．在Rt△ACB中，由勾股定理得，即，∴．②联立①②，解得．所以．第二试（A）一、（本题满分20分）已知三个不同的实数满足，方程和有一个相同的实根，方程和也有一个相同的实根．求的值．解依次将题设中所给的四个方程编号为①，②，③，④．设是方程①和方程②的一个相同的实根，则两式相减，可解得．……………………5分设是方程③和方程④的一个相同的实根，则两式相减，可解得。所以．……………………10分又方程①的两根之积等于1，于是也是方程①的根，则。又，两式相减，得．……………………15分若，则方程①无实根，所以，故．于是．又，解得．

7、……………20分二．（本题满分25分）如图，在四边形ABCD中，已知，，，对角线交于点，且，为的中点．求证：（1）；（2）．证明（1）由已知得，从而四点共圆，为直径，为该圆的圆心．……………………5分作于点，知为的中点，所以＝＝，从而．……………………10分（2）作于点，则．又，∴，……………………15分∴Rt△≌Rt△，∴，又，所以，故，所以．……………………25分三．（本题满分25分）已知为正整数，．设，，，O为坐标原点．若，且．（1）证明：；（2）求图象经过三点的二次函数的解析式．解（1）因为，，所以，即．由，得．…5分又，从而有，即．……………1

8、0分（2）由，知是关于x的一元二次方程①的两个不相等的正整数根，从而，解得。又为