全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准.doc

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1、2009年全国初中数学联合竞赛试卷参考答案及评分规范说明：评阅试卷时，请依据本评分规范.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分规范规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分规范划分的档次，给予相应的分数.第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1.设，则（）A.24.B.25.C..D..【答】A.由，得，故.所以.2．在△ABC中，最大角∠A是最小角∠C的两倍，且AB＝7，AC＝8，则BC＝（）A..B..C..D..【答】C.延长CA至D

2、，使AD＝AB，则，所以△CBD∽△DAB，所以，故，所以.又因为，所以.3．用表示不大于的最大整数，则方程的解的个数为（）A.1.B.2.C.3.D.4.【答】C.由方程得，而，所以，即，解得，从而只可能取值.当时，，解得；当时，，没有符合条件的解；当时，，没有符合条件的解；2009年全国初中数学联合竞赛试卷参考答案及评分规范第1页（共8页）当时，，解得；当8/8时，，解得.因此，原方程共有3个解.4．设正方形ABCD的中心为点O，在以五个点A、B、C、D、O为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为（）A

3、..B..C..D..【答】B.不妨设正方形的面积为1.容易知道，以五个点A、B、C、D、O为顶点所构成的三角形都是等腰直角三角形，它们可以分为两类：（1）等腰直角三角形的直角顶点为正方形ABCD的四个顶点之一，这样的三角形有4个，它们的面积都为；（2）等腰直角三角形的直角顶点为正方形ABCD的中心O，这样的三角形也有4个，它们的面积都为.所以以五个点A、B、C、D、O为顶点可以构成4＋4＝8个三角形，从中任意取出两个，共有28种取法.要使取出的两个三角形的面积相等，则只能都取自第（1）类或都取自第（2）类，不同的取法有12种.

4、因此，所求的概率为.5．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，以BC为直径在矩形内作半圆，自点A作半圆的切线AE，则CBE＝（）A..B..C..D..【答】D.设BC的中点为O，连接OE、CE.因为AB⊥BC，AE⊥OE，所以A、B、O、E四点共圆，故∠BAE＝∠COE.又AB＝AE，OC=OE，所以△ABE∽△OCE，因此，即.又CE⊥BE，所以，故CBE＝.6．设是大于1909的正整数，使得为完全平方数的的个数是（）A.3.B.4.C.5.D.6.【答】B.设，则，它为完全平方数，不妨设为（其中为正整数），则.验证易

5、知，只有当时，上式才可能成立.对应的值分别为50，20，10，2.2009年全国初中数学联合竞赛试卷参考答案及评分规范第2页（共8页）因此，使得为完全平方数的共有4个，分别为1959，1989，1999，2007.8/8二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1．已知是实数，若是关于的一元二次方程的两个非负实根，则的最小值是____________.【答】.因为是关于的一元二次方程的两个非负实根，所以解得.，当时，取得最小值.2．设D是△ABC的边AB上的一点，作DE//BC交AC于点E，作DF//AC交BC于点F，已知△ADE

6、、△DBF的面积分别为和，则四边形DECF的面积为______.【答】.设△ABC的面积为,则因为△ADE∽△ABC，所以.又因为△BDF∽△BAC，所以.两式相加得，即，解得.所以四边形DECF的面积为.3．如果实数满足条件，，则______.【答】.因为，所以.由可得，从而，解得.从而，因此，即，整理得，解得（另一根舍去）.2009年全国初中数学联合竞赛试卷参考答案及评分规范第3页（共8页）把代入计算可得，所以.8/84．已知是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对共有_____对.【答】7.设（为正整数），则，故为有理数.

7、令，其中均为正整数且.从而，所以，故，所以.同理可得（其中为正整数），则.又，所以，所以.（1）时，有，即，易求得或（3,6）或（6,3）.（2）时，同理可求得.（3）时，同理可求得或（1,2）.（4）时，同理可求得.因此，这样的有序数对共有7对，分别为（240,240），（135,540），（540,135），（60,60），（60,15），（15,60），（15,15）.第二试（A）一．（本题满分20分）已知二次函数的图象与轴的交点分别为A、B，与轴的交点为C.设△ABC的外接圆的圆心为点P.（1）证明：⊙P与轴的另一个交点

8、为定点.（2）如果AB恰好为⊙P的直径且，求和的值.解（1）易求得点的坐标为，设，，则，.设⊙P与轴的另一个交点为D，由于AB、CD是⊙P的两条相交弦，它们的交点为点O，所以OA×OB＝OC×OD，则.8/82009年全国初中数学联合竞赛试卷参考答案及评分规范第