全国初中数学联合竞赛试题及参考答案与评分标准

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1、2007年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其他中间档次.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）本题共有6小题，每题均给出了代号为的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内.每小题选对得7分；不选、选错或选出的代

2、号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.1.已知满足，则的值为（）（A）1.（B）.（C）.（D）.【答】B.解由得，所以，故选（B）.注：本题也可用特殊值法来判断.2．当分别取值，，，…，，，，…，，，时，计算代数式的值，将所得的结果相加，其和等于（）（A）－1.（B）1.（C）0.（D）2007.【答】C.解因为，即当分别取值，为正整数）时，计算所得的代数式的值之和为0；而当时，.因此，当分别取值上海中考网http://sh.zhongkao.comE度社区http://bbs.eduu.c

3、om，，，…，，，，…，，，时，计算所得各代数式的值之和为0.故选（C）.3.设是△的三边长，二次函数在时取最小值，则△是（）（A）等腰三角形.（B）锐角三角形.（C）钝角三角形.（D）直角三角形.【答】D.解由题意可得即所以，，因此，所以△是直角三角形.故选（D）.4.已知锐角△的顶点到垂心的距离等于它的外接圆的半径，则∠的度数是（）AECBDOH（A）30°.（B）45°.（C）60°.（D）75°.【答】C.解锐角△的垂心在三角形内部，如图，设△的外心为，为的中点，的延长线交⊙于点，连、，则//，/

4、/，则，所以∠＝30°，∠＝60°，所以∠＝∠＝60°.故选（C）.5．设是△内任意一点，△、△、△的重心分别为、、，则的值为（）（A）.（B）.（C）.（D）.【答】A.解分别延长、、，与△的三边、、交于点、、，由于、、分别为△、△、△的重心，易知、、分别为、、的中点，所以.易证△∽△，且相似比为，所以.所以.故选（A）.上海中考网http://sh.zhongkao.comE度社区http://bbs.eduu.com6．袋中装有5个红球、6个黑球、7个白球，从袋中摸出15个球，摸出的球中恰好有3个红

5、球的概率是（）（A）.（B）.（C）.（D）.【答】B.解设摸出的15个球中有个红球、个黑球、个白球，则都是正整数，且，.因为，所以可取值2，3，4，5.当时，只有一种可能，即；当时，，有2种可能，或；当时，，有3种可能，或或；当时，，有4种可能，或或或.因此，共有1＋2＋3＋4＝10种可能的摸球结果，其中摸出的球中恰好有3个红球的结果有2种，所以所求的概率为.故选（B）.二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1.设，是的小数部分，是的小数部分，则____1___.解∵，而，∴.又∵，而，∴.∴，∴.2

6、.对于一切不小于2的自然数，关于的一元二次方程的两个根记作（），则上海中考网http://sh.zhongkao.comE度社区http://bbs.eduu.com=解由根与系数的关系得，，所以，则，＝.3.已知直角梯形的四条边长分别为，过、两点作圆,与的延长线交于点，与的延长线交于点，则的值为____4_____.ABCDEFGMN解延长交⊙于点，设的中点分别为点，则易知.因为，由割线定理，易证，所以.4．若和均为四位数，且均为完全平方数，则整数的值是___17____.解设，，则，两式相减得，因为1

7、01是质数，且，所以，故.代入，整理得，解得，或（舍去）.所以.上海中考网http://sh.zhongkao.comE度社区http://bbs.eduu.com第二试（A）一、（本题满分20分）设为正整数，且，如果对一切实数，二次函数的图象与轴的两个交点间的距离不小于，求的值.解因为一元二次方程的两根分别为和，所以二次函数的图象与轴的两个交点间的距离为.由题意，，即，即.由题意知，，且上式对一切实数恒成立，所以2007年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第4页（共8页）所以或ABCDEFMNP

8、二、（本题满分25分）如图，四边形是梯形，点是上底边上一点，的延长线与的延长线交于点，过点作的平行线交的延长线于点，与交于点.证明：∠=∠.证明设与交于点，∵//，∴△∽△，∴,∴.又∵//，∴△∽△，∴,∴.上海中考网http://sh.zhongkao.comE度社区http://bbs.eduu.com∴,故又∠=∠，∴△PNF∽△PMC，∴∠PNF＝∠PMC，∴NF//MC∴∠ANF＝∠EDM.又∵ME//BF，∴∠F