2016年全国高中数学联合竞赛一试（A卷）试题及答案

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1、2016年全国高中数学联合竞赛一试（A卷）说明：1.评阅试卷时，请依据本评分标准．填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次．2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次给分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分一个档次，不要增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分1．设实数满足，则的取值范围是2．设复数满足，，其中是虚数单位，分别表示的共轭复数，则的模为3．正实数均不等于1，若

2、，，则的值为4．袋子A中装有2张10元纸币和3张1元纸币，袋子B中装有4张5元纸币和3张1元纸币．现随机从两个袋子中各取出两张纸币，则A中剩下的纸币面值之和大于B中剩下的纸币面值之和的概率为5．设P为一圆锥的顶点，A，B，C是其底面圆周上的三点，满足=90°，M为AP的中点．若AB=1，AC=2，，则二面角M—BC—A的大小为6．设函数，其中是一个正整数．若对任意实数，均有，则的最小值为7．双曲线C的方程为，左、右焦点分别为、，过点作直线与双曲线C的右半支交于点P，Q，使得=90°，则的内切圆半径是8．设是1，2，…，100中

3、的4个互不相同的数，满足2016年全国高中数学联合竞赛一试第18页，共18页则这样的有序数组的个数为二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．（本题满分16分）在中，已知．求的最大值．10．（本题满分20分）已知是R上的奇函数，，且对任意，均有．求…的值．2016年全国高中数学联合竞赛一试第18页，共18页11．（本题满分20分）如图所示，在平面直角坐标系中，F是轴正半轴上的一个动点．以F为焦点，O为顶点作抛物线C．设P是第一象限内C上的一点，Q是轴负半轴上一点，使得PQ为C的切线，且｜

4、PQ｜=2.圆均与直线OP相切于点P，且均与轴相切．求点F的坐标，使圆与的面积之和取到最小值．2016年全国高中数学联合竞赛加试一、（本题满分40分）设实数…满足…。求…的最大值。2016年全国高中数学联合竞赛一试第18页，共18页二、（本题满分40分）如图所示，在中，X，Y是直线BC上两点（X，B，C，Y顺次排列），使得。设，的外心分别为，，直线与AB，AC分别交于点U，V。证明：是等腰三角形。2016年全国高中数学联合竞赛一试第18页，共18页三、（本题满分50分）给定空间中10个点，其中任意四点不在一个平面上，将某些点之

5、间用线段相连，若得到的图形中没有三角形也没有空间四边形，试确定所连线段数目的最大值。四、（本题满分50分）设与均是素数，。数列的定义为，，，…。这里表示不小于实数的最小整数。2016年全国高中数学联合竞赛一试第18页，共18页2016年全国高中数学联合竞赛一试（A卷）参考答案及评分标准说明：1.评阅试卷时，请依据本评分标准．填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次．2.2016年全国高中数学联合竞赛一试第18页，共18页如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤

6、正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次给分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分一个档次，不要增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分1．设实数满足，则的取值范围是答案：解：由可得，原不等式可变形为即，所以．又，故．2．设复数满足，，其中是虚数单位，分别表示的共轭复数，则的模为答案：解：由运算性质，，因为与为实数，，故，，又，所以，从而因此，的模为．3．正实数均不等于1，若，，则的值为答案：解：令，，则2016年全国高中数学联合竞赛一试第18页，共18页，，条件化为，，由此可得，因

7、此．4．袋子A中装有2张10元纸币和3张1元纸币，袋子B中装有4张5元纸币和3张1元纸币．现随机从两个袋子中各取出两张纸币，则A中剩下的纸币面值之和大于B中剩下的纸币面值之和的概率为答案：解：一种取法符合要求，等价于从A中取走的两张纸币的总面值小于从B中取走的两张纸币的总面值，从而．故只能从A中国取走两张1元纸币，相应的取法数为．又此时，即从B中取走的两张纸币不能都是1元纸币，相应有种取法．因此，所求的概率为．5．设P为一圆锥的顶点，A，B，C是其底面圆周上的三点，满足=90°，M为AP的中点．若AB=1，AC=2，，则二面角

8、M—BC—A的大小为答案：解：由=90°知，AC为底面圆的直径．设底面中心为O，则平面ABC，易知，进而．设H为M在底面上的射影，则H为AO的中点．在底面中作于点K，则由三垂线定理知，从而为二面角M—BC—A的平面角．因，结合与平行知，，即，这样．故二面角M—BC—A的大小为