2007年全国高中数学联合竞赛一试试卷及答案

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1、2007年全国高中数学联合竞赛一试试卷（考试时间：上午8：00—9：40）一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1.如图，在正四棱锥P−ABCD中，∠APC=60°，则二面角A−PB−C的平面角的余弦值为（）A.B.C.D.2.设实数a使得不等式

2、2x−a

3、+

4、3x−2a

5、≥a2对任意实数x恒成立，则满足条件的a所组成的集合是（）A.B.C.D.[−3，3]3.将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同。甲从袋中摸出一个球，其号码为a，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码

6、为b。则使不等式a−2b+10>0成立的事件发生的概率等于（）A.B.C.D.4.设函数f(x)=3sinx+2cosx+1。若实数a、b、c使得af(x)+bf(x−c)=1对任意实数x恒成立，则的值等于（）A.B.C.−1D.15.设圆O1和圆O2是两个定圆，动圆P与这两个定圆都相切，则圆P的圆心轨迹不可能是（）6.已知A与B是集合{1，2，3，…，100}的两个子集，满足：A与B的元素个数相同，且为A∩B空集。若n∈A时总有2n+2∈B，则集合A∪B的元素个数最多为（）A.62B.66C.68D.74二、填空

7、题（本题满分54分，每小题9分）7.在平面直角坐标系内，有四个定点A(−3，0)，B(1，−1)，C(0，3)，D(−1，3)及一个动点P，则

8、PA

9、+

10、PB

11、+

12、PC

13、+

14、PD

15、的最小值为__________。8.在△ABC和△AEF中，B是EF的中点，AB=EF=1，BC=6，，若，则与的夹角的余弦值等于________。9.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，以顶点A为球心，为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于__________。10.已知等差数列{an}的公差d不为0，

16、等比数列{bn}的公比q是小于1的正有理数。若a1=d，b1=d2，且是正整数，则q等于________。11.已知函数，则f(x)的最小值为________。12.将2个a和2个b共4个字母填在如图所示的16个小方格内，每个小方格内至多填1个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共有________种（用数字作答）。三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13.设，求证：当正整数n≥2时，an+1

17、。15.设函数f(x)对所有的实数x都满足f(x+2π)=f(x)，求证：存在4个函数fi(x)(i=1，2，3，4)满足：（1）对i=1，2，3，4，fi(x)是偶函数，且对任意的实数x，有fi(x+π)=fi(x)；（2）对任意的实数x，有f(x)=f1(x)+f2(x)cosx+f3(x)sinx+f4(x)sin2x。2007年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1.如图，在正四棱锥P−ABCD中，∠APC=60°，则二面角A−PB−C的平面角的余弦值为（B）A.B.

18、C.D.解：如图，在侧面PAB内，作AM⊥PB，垂足为M。连结CM、AC，则∠AMC为二面角A−PB−C的平面角。不妨设AB=2，则，斜高为，故，由此得。在△AMC中，由余弦定理得。2.设实数a使得不等式

19、2x−a

20、+

21、3x−2a

22、≥a2对任意实数x恒成立，则满足条件的a所组成的集合是（A）A.B.C.D.[−3，3]解：令，则有，排除B、D。由对称性排除C，从而只有A正确。一般地，对k∈R，令，则原不等式为，由此易知原不等式等价于，对任意的k∈R成立。由于，所以，从而上述不等式等价于。3.将号码分别为1、2、…、

23、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同。甲从袋中摸出一个球，其号码为a，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b。则使不等式a−2b+10>0成立的事件发生的概率等于（D）A.B.C.D.解：甲、乙二人每人摸出一个小球都有9种不同的结果，故基本事件总数为92=81个。由不等式a−2b+10>0得2b

24、、7、8、9中每一个值，有5种；当b=8时，a可取7、8、9中每一个值，有3种；当b=9时，a只能取9，有1种。于是，所求事件的概率为。4.设函数f(x)=3sinx+2cosx+1。若实数a、b、c使得af(x)+bf(x−c)=1对任意实数x恒成立，则的值等于（C）A.B.C.−1D.1解：令c=π，则对任意的x∈R，都有f(x)+f(x−c)=2，于是